底の変換公式とは？
今回は底の変換公式について解説していきます！
底の変換公式は対数の計算をする際に、底を合わせるために必要な公式ですね。
例）
\(\log_2 x+\log_4 16=1\)
この式は、このままだと底が違うため計算することができません。
底の変換公式を使うことによって、計算することができます。
※ 下の例題で解説しています。
公式の導入や例題も用意しておりますので、公式を確認して問題も解いてみてください。
底の変換公式
\(a>0\), \(b>0\), \(c>0\), \(c\neq 1\)
\(\log_{a}{b}=\displaystyle\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}\)
底の変換公式の導入
導入に必要な公式
\(\log_c a^X=X \log_c a\) \(\cdots\) ※
（導入）
\(a^d=b\) \(\Longleftrightarrow\) \(\log_a b\) より
あえて、\(\log_a b=\log_a b\) とかくと、\(a^{\log_a b}=b\) とかける。
ここで、両辺の対数を取ると、（底は \(c\) ）
\(\log_c {a^{\log_a b}}=\log_c b\)
※の公式を使うと、
\(\log_a b \log_c a=\log_c b\)
両辺を \(\log_c a\) で割ると、
\(\log_a b=\displaystyle\frac{\log_c b}{\log_c a}\)
底の変換公式の使い方
\(a>0\), \(b>0\), \(c>0\), \(c\neq 1\)
\(\log_{a}{b}=\displaystyle\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}\)
使用するタイミングは、底を別の底に変換したい時です。
公式を見ると、底が \(a\) \(\longrightarrow\) \(c\) に変換されていますね。
底 \(c\) に何を当てはめればいいのかわからない人もいるかもしれませんが、下の例題にもあるように基本的に変換先の底はなんでも良いです。
変換する数字によっては、計算のしやすさが変わりますが慣れるまでは、「\(2\) に変換してみよう」みたいな感じでお試しに変換してみると良いと思います！
底の変換公式（問題）
(1) \(\log_9 81\) を計算しなさい。
(2) \(\log_2 3\cdot \log_3 5\cdot \log_5 4\)
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底の変換公式（答案の例）
(1) \(\log_9 81\) を計算しなさい。
\(\log_9 81\)
\(=\displaystyle\frac{\log_3 81}{\log_3 9}\)
\(=\displaystyle\frac{\log_3 3^4}{\log_3 3^2}\)
\(=\displaystyle\frac{4\log_3 3}{2\log_3 3}\)
\(=2\)
(2) \(\log_2 3\cdot \log_3 5\cdot \log_5 8\)
\(\log_2 3\cdot \log_3 5\cdot \log_5 8\)
\(=\log_2 3\cdot\displaystyle\frac{\log_2 5}{\log_2 3}\cdot \frac{\log_2 8}{\log_2 5}\)
\(=3\)
底の変換公式（解説）
(1) \(\log_9 81\) を計算しなさい。
底は、何にしてもいいですし、\(c\) と文字にしても解くことができます。
しかし、\(9=3^2\), \(81=3^4\) であることに注意すると、
底を \(3\) にするとスムーズに計算できそうだと気づくことができます。
\(\log_9 81\)
\(=\displaystyle\frac{\log_3 81}{\log_3 9}\)
\(=\displaystyle\frac{\log_3 3^4}{\log_3 3^2}\)
\(=\displaystyle\frac{4\log_3 3}{2\log_3 3}\)
\(=2\)
(2) \(\log_2 3\cdot \log_3 5\cdot \log_5 8\)
数字がたくさんあるため、底を何にするのか迷われるかもしれません。
困ったら、\(2\) に揃えてみましょう。
\(2\) にしてみて不都合がありそうなら別の数字に変更して再度計算してみましょう。
\(\log_2 3\cdot \log_3 5\cdot \log_5 8\)
\(=\log_2 3\cdot\displaystyle\frac{\log_2 5}{\log_2 3}\cdot \frac{\log_2 8}{\log_2 5}\)
\(=3\)
おわりに
今回は、底の変換公式について解説しました。
底の変換公式の導入自体が問題になって出ることはありませんが、導入の計算をすることができることが必要な技能になります。
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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