曲線の凹凸・変曲点
今回は変曲点についてです！
変曲点とは、「グラフの曲がり方が変わる点」のことです。
言い換えると、「接線の傾きが増加から減少に切り替わる点」とも言えます！
[1] 曲線の凹凸
関数 \(f(x)\) は第 \(2\) 次導関数 \(f”(x)\) をもつとする。
\(f”(x)>0\) である区間では、曲線 \(y=f(x)\) は下に凸
\(f”(x)<0\) である区間では、曲線 \(y=f(x)\) は上に凸
[2] 変曲点
① 凹凸が変わる曲線上の点のこと。\(f”(a)=0\) であって、\(x=a\) の前後で \(f”(x)\) の符号が変わるならば、点 \(P(a\), \(f(a))\) は曲線 \(y=f(x)\) の変曲点である。
② 点 \((a\), \(f(a))\) が曲線 \(y=f(x)\) の変曲点ならば \(f”(a)=0\)
関数のグラフの概形
次の ① 〜 ⑥ に注意してかく。
① 定義域
\(x\), \(y\) の変域に注意して、グラフの存在範囲を調べる。
② 対称性
\(x\) 軸対称、\(y\) 軸対称、原点対称などの対称性を調べる。
③ 増減と極値
\(y’\) の符号の変化を調べる。
④ 凹凸と変曲点
\(y”\) の符号の変化を調べる。
⑤ 座標軸との共有点
\(x=0\) のときの \(y\) の値、\(y=0\) のときの \(x\) の値を求める。
⑥ 漸近線
\(x\longrightarrow\pm\infty\) のときの \(y\) の極限や、\(y\longrightarrow\pm\infty\) となる \(x\) の値を調べる。
第 \(2\) 次導関数と極値
\(x=a\) を含むある区間で \(f”(x)\) は連続であるとする。
① \(f'(a)=0\), \(f”(a)<0\) ならば、\(f(a)\) は極大値である。
② \(f'(a)=0\), \(f”(a)>0\) ならば、\(f(a)\) は極小値である。
関数のグラフ（問題）
曲線 \(y=\displaystyle\frac{x}{x^2+1}\) の変曲点を求め、グラフを描きなさい。
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関数のグラフ（解説）
\(y’=\displaystyle\frac{x’\cdot (x^2+1)-x\cdot (x^2+1)’}{(x^2+1)^2}\)
\(=\displaystyle\frac{x^2+1-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}\)
\(=-\displaystyle\frac{x^2-1}{(x^2+1)^2}\)
\(y’=0\) とすると \(x=1\), \(-1\)
\(y”=-\displaystyle\frac{(x^2-1)'(x^2+1)^2-(x^2-1)\{(x^2+1)^2\}’}{(x^2+1)^4}\)
\(=-\displaystyle\frac{2x(x^2+1)^2-(x^2-1)\cdot 2(x^2+1)\cdot 2x}{(x^2+1)^4}\)
\(=-\displaystyle\frac{2x(x^2+1)^2-4x(x^2-1)(x^2+1)}{(x^2+1)^4}\)
\(=-\displaystyle\frac{2x(x^2+1)\{(x^2+1)-2(x^2-1)\}}{(x^2+1)^4}\)
\(=-\displaystyle\frac{2x(x^2+1)(-x^2+3)}{(x^2+1)^4}\)
\(=\displaystyle\frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}\)
\(=\displaystyle\frac{2x(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})}{(x^2+1)^3}\)
\(y”=0\) とすると \(x=0\), \(\pm\sqrt{3}\)
\(y”\) の符号を調べると、常に \((x^2+1)^3>0\) であるから、この曲線の凹凸は次の表のようになる。
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。
”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。