今回は部分積分法を用いた計算問題です！
複雑な式の積分をする際には部分積分法が使える可能性が高いです！
\(\displaystyle\int_a^b f(x)g'(x)=\big[f(x)g(x)\big]_a^b-\int_a^b f'(x)g(x) dx\)
かなり感覚的ですが、積で表されていて、\(e^x\) や \(\sin x\) などの三角比が含まれている場合は部分積分法を用いる場合が多い印象です！
\(a\) は \(0\) でない定数とし、\(A=\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-ax}\sin 2x dx\), \(B=\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-ax}\cos 2x dx\) とする。このとき、\(A\), \(B\) の値をそれぞれ求めよ。
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\(A=\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-ax}\sin 2x dx\) について
\(f(x)=\sin 2x\)
\(f'(x)=2\cos 2x\)
\(g'(x)=e^{-ax}\)
\(g(x)=-\displaystyle\frac{1}{a} e^{-ax}\)
よって、
\(A=\big[\sin 2x\cdot\displaystyle\frac{e^{-ax}}{-a}\big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi} \displaystyle\frac{e^{-ax}}{-a}\cdot 2\cos 2x dx\)
\(=0+\displaystyle\frac{2}{a}\)\(\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-ax}\cos 2x dx\)
\(=\displaystyle\frac{2}{a}\) \(B\) \(\cdots\) ①
\(B=\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-ax}\cos 2x dx\) について
\(f(x)=\cos 2x\)
\(f'(x)=-2\sin 2x\)
\(g'(x)=e^{-ax}\)
\(g(x)=-\displaystyle\frac{1}{a} e^{-ax}\)
\(B=\big[\cos 2x\cdot\displaystyle\frac{e^{-ax}}{-a}\big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi} \displaystyle\frac{e^{-ax}}{-a}\cdot (-2\sin 2x) dx\)
\(=\displaystyle\frac{e^{-a\pi}}{-a}+\frac{1}{a}-\displaystyle\frac{2}{a}\)\(\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-ax}\sin 2x dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{a}(1-e^{-a\pi})-\displaystyle\frac{2}{a}\) \(A\) \(\cdots\) ②
①より \(B=\displaystyle\frac{a}{2}A\)
これを②に代入して、
\(\displaystyle\frac{a}{2}A=\frac{1}{a}(1-e^{-a\pi})-\frac{2}{a}A\)
\(\displaystyle\frac{a}{2}A+\frac{2}{a}A=\frac{1}{a}(1-e^{-a\pi})\)
\(\displaystyle{a^2+4}{2a}A=\frac{2}{2a}(1-e^{-a\pi})\)
\(A=\displaystyle\frac{2}{a^2+4}(1-e^{-a\pi})\)
\(B=\displaystyle\frac{a}{a^2+4}(1-e^{-a\pi})\)
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