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【積分法】三角関数と指数関数の不定積分

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統計学を約10年間勉強してきました。
現在は、統計スキルを自身のキャリアに活用してきた方法をブログで発信しています。

  • 大学の研究テーマ「主成分分析を使った正しい評価方法」

  • 大学院の研究テーマ「階層的区間クラスタリング」

  • 統計検定2級所持

  • Kaggleのコンペに参加

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目次

三角関数と指数関数の不定積分

今回は三角関数と指数関数の不定積分についてです!

不定積分は数学Ⅱでも学びましたが、数学Ⅲではより難しい関数の不定積分を学びます。積分は微分との複合問題として出題される頻出問題なので一緒に確認していきましょう!

以下 \(C\) はいずれも積分定数とする。

\(x^n\) の関数

\(\alpha\neq -1\) のとき \(\displaystyle\int x^{\alpha} dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\)

\(\alpha=-1\) のとき \(\displaystyle\int\frac{1}{x} dx=\log|x|+C\)

三角関数

\(\displaystyle\int\sin x dx=-\cos x +C\)

\(\displaystyle\int\cos x dx=\sin x +C\)

\(\displaystyle\int\frac{1}{\cos^2 x} dx=-\tan x +C\)

\(\displaystyle\int\frac{1}{\sin^2 x} dx=-\frac{1}{\tan x} +C\)

指数関数

\(\displaystyle\int e^x dx=e^x+C\)

\(\displaystyle\int a^x dx=\frac{a^x}{\log a}+C\) (\(a>0\), \(a\neq 1\))

三角関数の不定積分(例題)

(1) \(\displaystyle\int\frac{x-\cos^2 x}{x\cos^2 x} dx\)

(2) \(\displaystyle\int\frac{1}{\tan^2 x} dx\)

三角関数の不定積分(解説)

(1) \(\displaystyle\int\frac{x-\cos^2 x}{x\cos^2 x} dx\)

分母の項が \(1\) つなので以下のように分解します!

\(=\displaystyle\int\big(\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{1}{x}\big) dx\)

\(\displaystyle\int\frac{1}{x}=\log|x|+C\) より

\(=\tan x-\log |x|+C\) (\(C\) は積分定数)

(2) \(\displaystyle\int\frac{1}{\tan^2 x} dx\)

\(\tan x=\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}\) より

\(=\displaystyle\int\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}dx\)

\(=\displaystyle\int\frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}dx\)

\(=\displaystyle\int\big(\frac{1}{\sin^2 x}-1\big)dx\)

\(=-\displaystyle\frac{1}{\tan x}-x+C\) (\(C\) は積分定数)

指数関数の不定積分(例題)

(1) \(\displaystyle\int (2e^t-3\cdot 2^t) dt\)

(2) \(\displaystyle\int (3e^t-10^t) dt\)

指数関数の不定積分(解説)

(1) \(\displaystyle\int (2e^t-3\cdot 2^t) dt\)

\(\displaystyle\int e^x dx=e^x\), \(\displaystyle\int a^x dx=\frac{a^x}{\log a}+C\) より

\(=\displaystyle\int\big(2e^t-\frac{3\cdot 2^t}{\log 2}+C\) (\(C\) は積分定数)

(2) \(\displaystyle\int (3e^t-10^t) dt\)

\(\displaystyle\int e^x dx=e^x\), \(\displaystyle\int a^x dx=\frac{a^x}{\log a}+C\) より

\(=3e^t-\displaystyle\frac{10^t}{\log 10}+C\) (\(C\) は積分定数)

おわりに

さいごまで読んでいただきありがとうございました!

このブログでは統計学を学びたい学生/社会人向けに記事を書いています。

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