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【積分法の応用】2 曲線間の面積

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統計学を約10年間勉強してきました。
現在は、統計スキルを自身のキャリアに活用してきた方法をブログで発信しています。

  • 大学の研究テーマ「主成分分析を使った正しい評価方法」

  • 大学院の研究テーマ「階層的区間クラスタリング」

  • 統計検定2級所持

  • Kaggleのコンペに参加

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目次

\(2\) 曲線間の面積

今回は \(2\) 曲線で囲まれた面積を求める問題です。

曲線が三角比で表されているので、「三角比の不定積分」「三角比のグラフ」「定積分の基本知識」が理解できていることが必要になります。

\(2\) つの曲線 \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) と \(2\) 直線 \(x=a\), \(x=b\)に囲まれた面積 \(S\) を求めるとき、

上下の関数が切り替わっている点に注意すると、

 \(S=\displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|dx\)

最初の方は青い曲線が上にいますが、途中から赤い曲線が上に来ていますね!

\(2\) 曲線間の面積(問題)

区間 \(0\leq x\leq 2\pi\) において、\(2\) つの曲線 \(y=\sin x\), \(y=\sin 2x\) で囲まれた図形の面積 \(S\) を求めよ。

\(2\) 曲線間の面積(解説)

まずは \(2\) 曲線の交点を求めます。

 \(\sin x=\sin 2x\)

 \(\sin x=2\sin x\cos x\)

 \(\sin x-2\sin x\cos x=0\)

 \(\sin x(1-2\cos x)=0\)

 \(\sin x=0\), \(\cos x=\frac{1}{2}\)

 \(x=0\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\pi\), \(\frac{5\pi}{3}\), \(2\pi\)

交点に気をつけながら \(2\) つの曲線のグラフを描いてみましょう!

よって、\(\sin x\)\(\sin 2x\) に囲まれた部分は以下のようになります。

面積 \(S\) を求める図形は点 \((\pi\), \(0)\) に関して対称なので、

\(S=2\big\{\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} (\sin 2x-\sin x)dx+\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi}(\sin x-\sin 2x)dx\big\}\)

\(=2\big\{\big[-\displaystyle\frac{1}{2}\cos 2x+\cos x\big]_0^{\frac{\pi}{3}}+\big[-\cos x+\frac{1}{2}\cos 2x\big]_{\frac{\pi}{3}}^{\pi}\big\}\)

\(=2\big\{\big(\displaystyle\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\big)-\big(-\frac{1}{2}+1\big)+\big(1+\frac{1}{2}\big)-\big(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\big)\big\}\)

 \(=2\big(\displaystyle\frac{3}{4}-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\frac{3}{4}\big)\)

 \(=2\times\displaystyle\frac{10}{4}\)

 \(=5\)

おわりに

さいごまで読んでいただきありがとうございました!

このブログでは統計学を学びたい学生/社会人向けに記事を書いています。

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