重複順列と重複組合せの違い
順列と組合せ
順列
異なる \(n\) 個の中から異なる \(r\) 個を取り出して \(1\) 列に並べる順列の総数は、
組合せ
異なる \(n\) 個の中から異なる \(r\) 個を取り出す組合せの総数は、
\({}_nC_r=\displaystyle\frac{{}_nP_r}{r!}\)
順列と組合せの違い
取り出したあと、「並べる」か「並べない」かで判別します。「並べる」場合は順列、「並べない」場合は組合せとなります。
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重複順列と重複組合せ
▼重複順列
異なる \(n\) 個のものから、重複を許して \(r\) 個を取り出して並べる順列の総数は、
第 \(1\), 第 \(2\), \(\cdots\) 第 \(r\) それぞれの選び方はすべて \(n\) 通りで、
\(n\times n\times n\times\cdots\times n=n^r\)
である。
例題）
\(2\times 2\times 2\times 2\times 2=32\)
▼重複組合せ
異なる \(n\) 個のものから、重複を許して \(r\) 個取る組合せ（重複組合せ）の総数は、
\({}_nH_r={}_{n+r-1}C_r\)
例題）
\(3\) 種類の果物 \(5\) 個の買い方を表すために、\(5\) つの ◯ と\(2\) つの仕切り( | )で表します。
例えば、
◯ ◯ | ◯ | ◯ ◯ なら、柿 \(2\) つ、りんご \(1\) つ、みかん \(2\) つ
| | ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ なら、柿 \(0\) つ、りんご \(0\) つ、みかん \(5\) つ
を表しています。
よって、求める場合の数は、
\({}_{5+3-1}C_5={}_7C_5={}_7C_2=21\)
なぜ、急に「◯」と「｜」が現れたのか混乱した人もいるかもしれません。
これは別の見方で場合の数を数えようとしているのです。
例えば、「あるクラスの人数を知りたい」とします。実際にクラスのメンバーを数えてもいいですが、「下駄箱」や「使用されてるロッカー」を数えても同じものが求められます。このように、求めたいものを直接数えるのではなく、別の捉え方をする解法は他にもさまざまあります。
今回は、区切りと区切りの間の「◯」を各果物に見立ててます。
柿の個数｜りんごの個数｜みかんの個数
のように考えます。
この並び方が今回の場合の数を求めることになるのです。
重複順列と重複組合せ
重複順列と重複組合せは、異なる組み合わせの方法です。
重複順列は、順序を考慮して要素を選ぶ方法で、同じ要素を複数回選ぶことが可能です。例えば、3つの要素から2つ選ぶ場合、順序が異なれば別の組み合わせとして扱います。
一方、重複組合せは、順序を考慮せずに要素を選ぶ方法で、同じ要素を複数回選ぶことができます。
通常の順列と組合せの違いと同じように考えてよさそうですね！
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
- 公務員試験の数学で困っている方
- 統計学（統計検定）の勉強で困っている方
個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
ご連絡お待ちしております。
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