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【場合の数】「9人を3人ずつ3組に分ける」並べるのか並べないのか

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統計学を約10年間勉強してきました。
現在は、統計スキルを自身のキャリアに活用してきた方法をブログで発信しています。

  • 大学の研究テーマ「主成分分析を使った正しい評価方法」

  • 大学院の研究テーマ「階層的区間クラスタリング」

  • 統計検定2級所持

  • Kaggleのコンペに参加

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目次

9人を3人ずつ3組に分ける

今回は \(9\) 人を \(3\) 人の \(3\) 組に分ける組合せの問題です。

\(9\) 人を \(3\) 人に分けるときの注意点は、分けた \(3\) 人組のグループ \(3\) つを並べるかどうかです。

次の①と②を見てみましょう。

①  \(9\) 人をチーム \(A\), \(B\), \(C\) の \(3\) 人ずつに分ける

 ⇒ どのチームになるか+どの\(3\) 人になるか

②  \(9\) 人を3人ずつに分ける(だけ)

 ⇒ どの\(3\) 人になるかだけ

①と②は計算方法が異なります。以上の注意点を意識しながら問題を見てましょう!

3人ずつ3組に分ける(問題)

\(9\) 人を次のように分ける方法は何通りあるか?

( \(1\) ) \(3\) 人ずつ \(A\), \(B\), \(C\) の \(3\) グループに分ける

( \(2\) ) \(3\) 人ずつ \(3\) グループに分ける

3人ずつ3組に分ける(答案の例)

( \(1\) )

\(9\) 人から \(3\) 人を選ぶ方法は、\({}_9C_3\)

残り \(6\) 人から \(3\) 人を選ぶ方法は、\({}_6C_3\)

残り \(3\) 人から \(3\) 人を選ぶ方法は、\({}_3C_3\)

よって、

 \({}_9C_3\times {}_6C_3\times {}_3C_3=1680\)

( \(2\) )

 \({}_9C_3\times {}_6C_3\times {}_3C_3\div 3!=1680\div 6=280\)

3人ずつ3組に分ける(解説)

( \(1\) )

まず解く際に、日常的なイメージを添えて考えていきましょう。

\(9\) 人の生徒が、\(A\) 、\(B\) 、\(C\) の \(3\) グループに分かれて午後から球技大会をします。お昼ご飯を食べるところから球技大会の日程が始まりますが、次の条件のもと、それぞれがお昼ご飯を獲得できることとします。

・最初に同時に選ばれた \(3\) 人を \(A\) グループとし、このグループは焼肉弁当を食べる

・次に同時に選ばれた \(3\) 人を \(B\) グループとし、このグループは焼き魚定食を食べる

・最後に残った \(3\) 人を \(C\) グループとし、このグループは親子どんぶりを食べる

この場合、誰と一緒のグループになるかというドキドキのほかに、どのタイミングで選ばれるかもとても重要になってきます。

たとえば、焼肉弁当が食べたいなら、あなたは最初の \(3\) 人に選ばれることを祈るでしょう。

球技大会前日、帰りの会にて、先生が生徒の名前が書かれた紙が入った箱をもって、教室に現れます。

いよいよグループのメンバーとお昼ご飯が決定するときです!

まず、 \(9\) 人の中から同時に \(3\) 人をランダムに選び出し、\({}_9C_3\)

この生徒たちは焼肉弁当組です。

次に、残った \(6\) 人の中から同時に \(3\) 人をランダムに選び出し、\({}_6C_3\)

この生徒たちは焼き魚定食組です。

最後に、残った \(3\) 人の中から同時に \(3\) 人をランダムに選び出し、\({}_3C_3\)

(選ぶ必要はありませんが、一応式を書いておきますね)

この生徒たちは親子どんぶり組です。

つまり、上記の \(3\) つを掛け合わせ、

 \({}_9C_3\times {}_6C_3\times {}_3C_3=1680\)

となります。

( \(2\) )

( \(1\) )と同じシチュエーションで考えていきましょう。

しかし今回は少し状況が異なり、午後から始まることは同じなのですが、お昼ご飯を各自で食べてからの開催とします。

つまり気になるのは、誰が同じグループのメンバーになるかだけです。

今回の問題では、同時に \(3\) 人ずつ選んでいる設定なので、合計で \(3\) 回分くじを引くことになりますが、( \(2\) )のシチュエーションでは、いつ選ばれるかは関係ありません。

たとえ最後の \(3\) 人に自分が残ったとしても、運動神経抜群の生徒が一緒に残っていれば、あなたは勝ちを確信することでしょう。

よって( \(2\) )の場合、( \(1\) )では別々のものだと認識されていた、最初に選ばれる、最後まで残るといった順番が関係なくなり、考える必要がなくなります。

つまり、 \(9\) 人を \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\), \(g\), \(h\), \(i\) と置くと、たとえば選ばれる順番を考慮した、

最初,  次,  最後

 \(abc\), \(def\), \(ghi\)  

② \(abc\), \(ghi\), \(def\)

③ \(def\), \(abc\), \(ghi\)

④ \(def\), \(ghi\), \(abc\)

⑤ \(ghi\), \(abc\), \(def\)

⑥ \(ghi\), \(def\), \(abc\)

という①〜⑥は、全て同じ並び順と考えることができるわけです。

これは、\(abc\), \(def\), \(ghi\) のかたまりをランダムに並べている作業に等しいため、\(3!\) 通りのパターンがあると導くことができます。

こういった被りは、\(abc\), \(def\), \(ghi\) の組み合わせ以外にもあり、それぞれが \(3!\) 通りだけあることになります。

よって、( \(1\) )の結果からこれらの被りを削り、

 \({}_9C_3\times {}_6C_3\times {}_3C_3\div 3!=1680\div 6=280\)

が最終的な答えとなります。

おわりに

今回は、 \(9\) 人を \(3\) 人の \(3\) 組に分ける組合せの問題でした。

組合せに似たものに「順列」という単元もあります。

この二つの違いを明確にするのが、場合の数の最初の難関になると思います。

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さいごまで読んでいただきありがとうございました!

このブログでは統計学を学びたい学生/社会人向けに記事を書いています。

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