方程式・不等式への応用
今回は方程式や不等式に、微分法を応用する方法を解説します！
この単元では、増減表の描き方やグラフの描き方が前提の知識となります。
復習をしたい方はこちらをチェック！
不等式 \(f(x)>g(x)\) の証明
\(F(x)=f(x)-g(x)\) とおき、関数 \(F(x)\) の増減を調べて証明する。
① \(F(x)\) の最小値を求め、
[ \(F(x)\) の (最小値) \(>0\)] を示す。
最小値が \(0\) より大きいことは、その関数全体が \(0\) より大きいことを示したことになりますね！
② \(F(x)\) が単調に増加 [\(F'(x)>0\) ] して
\(F(a)\geq 0\) ならば, \(x>a\) のとき \(f(x)>g(x)\) であることを利用する。
例）
\(x>0\) のとき、不等式 \(x>\sin x\) が成り立つことの証明
\(F(x)=x-\sin x\) とおくと、
\(F'(x)=1-\cos x\)
\(x>0\) のとき \(0\leq \cos x\leq 1\) より
\(F'(x)\leq 0\)
ゆえに、\(F(x)\) は \(x\leq 0\) で単調に増加する。
\(F(x)\) が単調増加であることが示せれば、グラフは描く必要はありません！
このことと、\(F(0)=0\) から、
\(x>0\) のとき \(F(x)>0\) すなわち \(x>\sin x\)
方程式・不等式への応用（問題）
\(x>0\) のとき、不等式 \(\log (1+x)<\displaystyle\frac{1+x}{2}\) が成り立つことを証明せよ。
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方程式・不等式への応用（解説）
\(f(x)=\displaystyle\frac{1+x}{2}-\log (1+x)\) とおくと、
\(f'(x)=\displaystyle\frac{1}{2}-\frac{1}{1+x}\)
\(=\displaystyle\frac{x-1}{2(1+x)}\)
\(f'(x)=0\) とすると、
\(f'(x)=\displaystyle\frac{x-1}{2(1+x)}=0\)
\(x-1=0\)
\(x=1\)
\(x>0\) における増減表は以下のようになる。
\(1-\log 2>0\) であるから、\(x>0\) のとき
\(f(x)\geq f(1)>0\)
よって、\(x>0\) のとき
\(\log (1+x)<\displaystyle\frac{1+x}{2}\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
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個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
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