原因の確率とは、
ある事象が起こったという結果から、この結果をもたらした原因がどの事象によるものであるかの確率のこと。
原因の確率
原因の確率とは、ある特定の出来事や状態が発生する原因を特定し、その原因がどの程度の確率で影響を与えているかを評価する手法です。
原因の確率を求めるためには、ベイズの定理を活用します。
ベイズの定理
原因と結果の関係を逆に推測するために使われるのがベイズの定理です。これは事後確率を求めるための公式であり、以下のように表されます。
\(P(B|A) = \displaystyle\frac{P(B\cap A}{P(A)}\)
ここで、
\(P(B|A)\) は「Aが発生したときにBが発生する確率」（原因の確率）
\(P(A|B)\) は「Bが発生したときにAが発生する確率」
\(P(B)\) は「Bが発生する確率」
\(P(A)\) は「Aが発生する確率」
実際に問題を解きときは、\(P(B|A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A\cap B)+P(A\cap\overline{B})}\) のように変形した式を用いることもあります。
ベイズの定理は、「条件付き確率」の\(A\) と \(B\) が逆になった公式です！
原因の確率の例題
例題
ある品物を製造するとき、\(A\) 工場の製品には \(5\)%、\(B\) 工場の製品には \(3\) %の不良品が含まれる。\(A\) 工場の製品 \(100\) 個と \(B\) 工場の製品 \(150\) 個の合計 \(250\) 個の中から \(1\) 個を取り出すとき、その製品が不良品であったとき、\(A\) 工場の製品である確率を求めよ。
結果：不良品であった
原因：\(A\) 工場の製品である
※「不良品であった」という結果から「\(A\) 工場の製品である」という原因である確率を求めたい。
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原因の確率の例題の解説
【(1)の考え方と解答】
今回の問題では，\(1\) 個の製品を取り出すとき、その製品が、\(A\) 工場の製品であるという事象を \(A\)、\(B\) 工場の製品であるという事象を \(B\)、不良品であるという事象を \(E\) とします。
製品を \(1\) 個取り出すとき、
\(P(A\cap E)=P(A)\times P_A(E)\)
\(=\displaystyle\frac{100}{250}\times \frac{5}{100}=\frac{1}{50}\)
製品を \(1\) つ取り出す時、その製品が「\(A\) 工場である」場合か「\(B\) 工場である」場合があります。よって、
\(P(E)=P(A\cap E)+P(B\cap E)\)
\(=P(A)P_A(E)+P(B)P_B(E)\)
\(=\displaystyle\frac{100}{250}\times \frac{5}{100}+\frac{150}{250}\times \frac{3}{100}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{50}+\frac{9}{500}\)
\(=\displaystyle\frac{19}{500}\)
不良品であるという事象を全事象と考えたときにその製品が \(A\) であるときの確率を求める。よって、
\(P_E(A)=\displaystyle\frac{P(E\cap A)}{P(E)}\)
\(P(E)=\displaystyle\frac{19}{500}\) より
\(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{50}}{\displaystyle\frac{19}{500}}=\displaystyle\frac{10}{19}\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
- 公務員試験の数学で困っている方
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個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
ご連絡お待ちしております。
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