数学は、理解して解くことだけが重要じゃない。解いてる内に理解することもある。
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等式の証明
今回は等式の証明についてです！
等式の証明の問題は、２つの整式 \(A\), \(B\) について、\(A=B\) が成り立つことを示す問題です。
証明問題は苦手な人が非常に多い単元です。まずは、型に当てはめて慣れるところから始めましょう！
等式の証明の解法
\(A=B\) の証明について
公式 ① \(A\) か \(B\) の一方を変形して証明する
公式 ② 両辺 \(A\), \(B\) をそれぞれ変形して証明する
公式 ③ 右辺を \(0\) にして、\(A-B=0\) であることを証明する
例）公式 ①の方法を使ってみます
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) を証明せよ。
（左辺）\(=(a+b)(a+b)\)
\(=a^2+ab+ab+b^2\)
\(a^2+2ab+b^2=\)（右辺）
等式の証明の型
等式の証明は、\(A=B\) であることを示す問題です。つまり出題されたタイミングではまだ \(A=B\) かどうかは分かっていません。
よって、答案を書く際に
\(A=B\)
（\(A\) を式変形）\(=\)（\(B\) を式変形）
（\(A\) をさらに式変形）\(=\)（\(B\) をさらに式変形）
というように計算を進めることはNGです。以下のように計算を進めるのが一般的です。
公式 ① の型
（左辺）\(=\) ○○○
\(=\) △△△
\(=\) ××× \(=\)（右辺）
よって、与式は成り立つ。
公式 ② の型
（左辺）\(=\) ○○○
\(=\) △△△
\(=\) ××× 
①
（左辺）\(=\) ☆☆☆
\(=\) ♩♩♩
\(=\) ××× ②
① \(=\) ② より与式は成り立つ。
公式 ③ の型
（左辺）\(-\)（右辺）\(=\) ○○○
\(=\) ×××
\(=\) △△△ \(=0\)
（左辺）\(-\)（右辺）\(=0\) より
（左辺）\(=\)（右辺）となるので、与式は成り立つ。
等式の証明（問題）
\(a+b+c=0\) のとき
等式 \(a^2+2b^2-c^2+3ab+bc=0\)
を証明せよ。
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答案の例
\(a+b+c=0\) より
\(c=-a-b\) \(\cdots\) ※
与式に ※ を代入
\(a^2+2b^2-(-a-b)^2+3ab+b(-a-b)\)
\(=a^2+2b^2-(a^2+2ab+b^2)+3ab-ab-b^2\)
\(=a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2+3ab-ab-b^2\)
\(=a^2-a^2+2b^2-b^2-b^2+3ab-ab-2ab\)
\(=0\)
よって、\(a^2+2b^2-c^2+3ab+bc=0\) と言える。
解説
文字を減らす
今回の問題を見ると、文字が \(a\), \(b\), \(c\) と \(3\) つあるのがわかりますね。どの問題でもそうですが、文字が多い式は扱いづらいです。なので、工夫して文字が減らせるのであれば減らしたいところです。条件（\(a+b+c=0\)）を使って、文字を減らして解きやすくしましょう！
\(a+b+c=0\) より
\(c=-a-b\) \(\cdots\) ※
\(c\) に代入して文字を減らそう。ちなみに \(a=\) もしくは \(b=\) にしても同様の結果が得られます！
与式に ※ を代入
\(a^2+2b^2-(-a-b)^2+3ab+b(-a-b)\)
\(=a^2+2b^2-(a^2+2ab+b^2)+3ab-ab-b^2\)
\(=a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2+3ab-ab-b^2\)
代入したら、公式 ① を使用する。
\(a^2-a^2+2b^2-b^2-b^2+3ab-ab-2ab\)
\(=0\)
よって、\(a^2+2b^2-c^2+3ab+bc=0\) と言える。
おわりに
今回は、等式の証明の問題でした。
\(A=B\) の証明について
公式 ① \(A\) か \(B\) の一方を変形して証明する
公式 ② 両辺 \(A\), \(B\) をそれぞれ変形して証明する
公式 ③ 右辺を \(0\) にして、\(A-B=0\) であることを証明する
まずは型に当てはめて解けるようになりましょう。
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
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