メニュー
yu-to
管理者
本ブログを運営しているyu-toと申します。

高校数学の解説や公務員試験問題の解説、データサイエンスについての記事を書いていきます!

「データサイエンス×教育」に興味があり、日々勉学に励んでいます。

少しでも役に立つ情報の発信をしていきますのでぜひ読んでください。

また、同志からのお声がけはとても励みになります。ぜひ、コメントやメール、SNS等でご連絡ください!
カテゴリー

【図形と方程式】点と直線の距離|円の弦の長さの求め方

  • URLをコピーしました!
目次

弦の長さの求め方

円の弦とは赤線部分のことです!

円の弦を求めるにあたって2つのポイントがあります。

ポイント
・図を描く
・点と直線の距離を求める公式を使う

図を描く

円の弦の長さを求めるためには、上図のように描き \(\triangle{OAC}\) の \(x\) を求めます。最後に、\(2x\) を求めればそれが弦の長さになります。

点と直線の距離を求める公式

点と直線の距離

\(A(x_1\), \(y_1)\) と直線 \(ax+by+c=0\) の距離は、

 \(d=\displaystyle\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

図のように、円の中心から直線に垂線を引く

f:id:smohisano:20210713214259p:plain

赤線を点と直線の距離の公式を使用して求めます。

弦の長さの求め方(問題)

直線 \(y=x+2\) が円 \(x^2+y^2=5\) によって切り取られる弦の長さを求めよ。

答案の例

f:id:smohisano:20210713214322p:plain

\(OM=\displaystyle\frac{|2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\sqrt{2}\)である。\(OA\) は円の半径より、\(OA=\sqrt{5}\)

f:id:smohisano:20210713214807p:plain

\(OA^2=OM^2+AM^2\)
\(AM^2=OA^2-OM^2\)
\(=\sqrt{5}^2-\sqrt{2}^2=5-2=3\)
\(AM=\pm{\sqrt{3}}\)

\(AM>0\) より \(AM=\sqrt{3}\)

\(AB=2AM\) より \(AB=2\sqrt{3}\)

解説

まずは、図を描きましょう。

f:id:smohisano:20210713214322p:plain

円の中心 \((0\), \(0)\) を点 \(O\) とする。また、円と直線の交点を \(A\), \(B\) とし、線分 \(AB\) の中点を \(M\) とする。

STEP① 点と直線の距離の公式を使う

\(OM=\displaystyle\frac{|2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\sqrt{2}\) である。\(OA\) は円の半径より、\(OA=\sqrt{5}\)

f:id:smohisano:20210713214807p:plain

STEP② \(\triangle{OAM}\) に着目する

\(OA^2=OM^2+AM^2\)
\(AM^2=OA^2-OM^2\)
\(=\sqrt{5}^2-\sqrt{2}^2\)
\(=5-2=3\)
\(AM=\pm{\sqrt{3}}\)

\(AM>0\) より \(AM=\sqrt{3}\)

STEP③ 弦の長さ (\(AB\)) は、\(AM\) の 2 倍

\(AB=2AM\) より \(AB=2\sqrt{3}\)

おわりに

今回は、円の弦の長さを求める問題でした。

複雑な公式が複数活用されるので、一つ一つの公式を着目して公式の導入から確認していきましょう。

さいごまで読んでいただきありがとうございました!

『統計の扉』で書いている記事

  • 高校数学の解説
  • 公務員試験の数学
  • 統計学(統計検定2級レベル)

ぜひご覧ください!

数学でお困りの方は、コメントやXでご連絡ください。(Xはこちら

私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。

  • URLをコピーしました!
目次