対数方程式
今回は対数が含まれた方程式の解き方です！
対数の公式を駆使するのが難しいところですが、しっかりと公式を覚えて、最初のうちは公式を見ながら式形できるように解き進めましょう。
① \(p=p\log_a a\) ( \(\log_a a=1\) )
② \(\log_a p=\log_a q\) のとき、\(p=q\) となる。
（\(a\) は底、\(p\), \(q\) は真数と呼ぶ。）
③ \(\log_a M+\log_a N=\log_a MN\)
① 実数を対数で表す際に使用する公式
例）\(3\) を底 \(2\) の対数で表したい時、\(3=3\log_2 2\)
③ 対数の底が揃っている時に使える公式
証明
\(\log_a M=A\)
\(\log_a N=B\) とおくと
\(a^A=M\), \(a^B=N\)
\(M\times N=a^A\times a^B\)
\(M\times N=a^{A+B}\)
\(\log_a MN=A+B\)
\(\log_a MN=\log_a M+\log_a N\)
対数方程式（問題）
次の方程式を解け。
\(\log_3 x+\log_3 (x-2)=1\)
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答案の例
\(\log_3 x+\log_3 (x-2)=1\)
真数条件より
\(x\geq 0\), \(x-2\geq 0\)
\(x\geq 0\), \(x\geq 2\)
よって、\(x\geq 2\)
\(\log_3 x+\log_3 (x-2)=1\)
\(\log_3 {x\times (x-2)}=\log_3 3\)
\(\log_3 (x^2-2x)=\log_3 3\)
\(x^2-2x=3\)
\(x^2-2x-3=0\)
\((x-3)(x+1)=0\)
\(x=3\), \(-1\)
\(x\geq 2\) より \(x=3\)
解説
STEP1 真数条件を確認する。つまり、（真数）\(\geq 0\) であることから \(x\) の満たす範囲を求める。
\(\log_3 x+\log_3 (x-2)=1\)
\(x\geq 0\), \(x-2\geq 0\)
\(x\geq 0\), \(x\geq 2\)
よって、\(x\geq 2\)
STEP2 方程式を整理する
\(\log_3 x+\log_3 (x-2)=1\)
\(\log_3 {x\times (x-2)}=\log_3 3\)
\(\log_3 (x^2-2x)=\log_3 3\)
したがって、
\(x^2-2x=3\)
\(x^2-2x-3=0\)
\((x-3)(x+1)=0\)
\(x=3\), \(-1\)
\(x\geq 2\) より \(x=3\)
おわりに
今回は、ログが含まれた方程式の解き方でした。
対数独特の公式を覚えることは当然ですが、実際に使えるように演習を重ねましょう。公式を無理して覚えようとしなくても良いです。公式を眺めながら解くということを繰り返せば、自ずと覚えられます。
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。
”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。