【三角関数】『三角方程式』サインの２倍角の公式を用いた三角方程式

2倍角を含む三角方程式

\(2\) 倍角が含まれた三角方程式はこんな感じです。

\(\sin2\theta=\cos\theta\)

\(\sin\theta\) の \(2\theta\) と \(\cos\theta\) の \(\theta\) を同じにする必要があります。そのときに使用するのが、\(2\) 倍角の公式です。

必要な技能
①　\(2\) 倍角の公式が使える
②　三角一次方程式を計算できる

2 倍角の公式

三角一次方程式

計算の途中に三角一次方程式が出てきます。

例）\(\sin\theta=\displaystyle\frac{1}{2}\)

↓この式の計算が難しく感じる人はこちらをチェック

2倍角を含む三角方程式 (問題)

\(0\leq \theta < 2\pi\) のとき、次の方程式を解け。

\(\sin2\theta=\cos\theta\)

答案の例

\(2\) 倍角の公式より \(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\) \(\cdots\) ※

※を与式に代入すると、

\(\sin2\theta=\cos\theta\)
\(2\sin\theta\cos\theta=\cos\theta\)
\(2\sin\theta\cos\theta-\cos\theta=0\)
\(\cos\theta(2\sin\theta-1)=0\)

よって、\(\cos\theta=0\),　\(\sin\theta=\displaystyle\frac{1}{2}\)

\((i)\)　\(\cos\theta=0\) より \(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}\),　\(\displaystyle\frac{3}{2}\pi\)

\((ii)\)　\(\sin\theta=\displaystyle\frac{1}{2}\) より \(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{6}\),　\(\displaystyle\frac{5}{6}\pi\)

\((i)\),　\((ii)\) より \(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{6}\),　\(\displaystyle\frac{\pi}{2}\),　\(\displaystyle\frac{5}{6}\pi\),　\(\displaystyle\frac{3}{2}\pi\)

解説

与式の \(\theta\) と \(2\theta\) をどちらかに合わせる

\(2\) 倍角の公式より\(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\) \(\cdots\) ※

※を与式に代入すると、

\(\sin2\theta=\cos\theta\)
\(2\sin\theta\cos\theta=\cos\theta\)
\(2\sin\theta\cos\theta-\cos\theta=0\)

因数分解する

\(\cos\theta(2\sin\theta-1)=0\)

よって、

\(\cos\theta=0\) または \(2\sin\theta-1=0\) より
\(\cos\theta=0\) または \(\sin\theta=\displaystyle\frac{1}{2}\) となる。

それぞれの三角一次方程式を計算する

\((i)\)　\(\cos\theta=0\) より \(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}\),　\(\displaystyle\frac{3}{2}\pi\)

\((ii)\)　\(\sin\theta=\displaystyle\frac{1}{2}\) より \(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{6}\),　\(\displaystyle\frac{5}{6}\pi\)

\((i)\),　\((ii)\) より \(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{6}\),　\(\displaystyle\frac{\pi}{2}\),　\(\displaystyle\frac{5}{6}\pi\),　\(\displaystyle\frac{3}{2}\pi\)

おわりに

2倍角を含んだ三角方程式は、2倍角の公式を用いて式変形をしましょう。