弦の長さの求め方
円の弦とは赤線部分のことです！
円の弦を求めるにあたって２つのポイントがあります。
ポイント
・図を描く
・点と直線の距離を求める公式を使う
図を描く
円の弦の長さを求めるためには、上図のように描き \(\triangle{OAC}\) の \(x\) を求めます。最後に、\(2x\) を求めればそれが弦の長さになります。
点と直線の距離を求める公式
点と直線の距離
\(A(x_1\), \(y_1)\) と直線 \(ax+by+c=0\) の距離は、
\(d=\displaystyle\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
図のように、円の中心から直線に垂線を引く
赤線を点と直線の距離の公式を使用して求めます。
弦の長さの求め方（問題）
直線 \(y=x+2\) が円 \(x^2+y^2=5\) によって切り取られる弦の長さを求めよ。
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答案の例
\(OM=\displaystyle\frac{|2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\sqrt{2}\)である。\(OA\) は円の半径より、\(OA=\sqrt{5}\)
\(OA^2=OM^2+AM^2\)
\(AM^2=OA^2-OM^2\)
\(=\sqrt{5}^2-\sqrt{2}^2=5-2=3\)
\(AM=\pm{\sqrt{3}}\)
\(AM>0\) より \(AM=\sqrt{3}\)
\(AB=2AM\) より \(AB=2\sqrt{3}\)
解説
まずは、図を描きましょう。
円の中心 \((0\), \(0)\) を点 \(O\) とする。また、円と直線の交点を \(A\), \(B\) とし、線分 \(AB\) の中点を \(M\) とする。
STEP① 点と直線の距離の公式を使う
\(OM=\displaystyle\frac{|2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\sqrt{2}\) である。\(OA\) は円の半径より、\(OA=\sqrt{5}\)
STEP② \(\triangle{OAM}\) に着目する
\(OA^2=OM^2+AM^2\)
\(AM^2=OA^2-OM^2\)
\(=\sqrt{5}^2-\sqrt{2}^2\)
\(=5-2=3\)
\(AM=\pm{\sqrt{3}}\)
\(AM>0\) より \(AM=\sqrt{3}\)
STEP③ 弦の長さ (\(AB\)) は、\(AM\) の 2 倍
\(AB=2AM\) より \(AB=2\sqrt{3}\)
おわりに
今回は、円の弦の長さを求める問題でした。
複雑な公式が複数活用されるので、一つ一つの公式を着目して公式の導入から確認していきましょう。
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
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