数学は、理解して解くことだけが重要じゃない。解いてる内に理解することもある。
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等式の証明
今回は等式の証明についてです！
等式の証明の問題は、２つの整式 \(A\), \(B\) について、\(A=B\) が成り立つことを示す問題です。
証明問題は苦手な人が非常に多い単元です。まずは、型に当てはめて慣れるところから始めましょう！
等式の証明の解法
\(A=B\) の証明について
公式 ① \(A\) か \(B\) の一方を変形して証明する
公式 ② 両辺 \(A\), \(B\) をそれぞれ変形して証明する
公式 ③ 右辺を \(0\) にして、\(A-B=0\) であることを証明する
例）公式 ①の方法を使ってみます
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) を証明せよ。
（左辺）\(=(a+b)(a+b)\)
\(=a^2+ab+ab+b^2\)
\(a^2+2ab+b^2=\)（右辺）
等式の証明の型
等式の証明は、\(A=B\) であることを示す問題です。つまり出題されたタイミングではまだ \(A=B\) かどうかは分かっていません。
よって、答案を書く際に
\(A=B\)
（\(A\) を式変形）\(=\)（\(B\) を式変形）
（\(A\) をさらに式変形）\(=\)（\(B\) をさらに式変形）
というように計算を進めることはNGです。以下のように計算を進めるのが一般的です。
公式 ① の型
（左辺）\(=\) ○○○
\(=\) △△△
\(=\) ××× \(=\)（右辺）
よって、与式は成り立つ。
公式 ② の型
（左辺）\(=\) ○○○
\(=\) △△△
\(=\) ××× 
①
（左辺）\(=\) ☆☆☆
\(=\) ♩♩♩
\(=\) ××× ②
① \(=\) ② より与式は成り立つ。
公式 ③ の型
（左辺）\(-\)（右辺）\(=\) ○○○
\(=\) ×××
\(=\) △△△ \(=0\)
（左辺）\(-\)（右辺）\(=0\) より
（左辺）\(=\)（右辺）となるので、与式は成り立つ。
等式の証明（問題）
\(a+b+c=0\) のとき
等式 \(a^2+2b^2-c^2+3ab+bc=0\)
を証明せよ。
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答案の例
\(a+b+c=0\) より
\(c=-a-b\) \(\cdots\) ※
与式に ※ を代入
\(a^2+2b^2-(-a-b)^2+3ab+b(-a-b)\)
\(=a^2+2b^2-(a^2+2ab+b^2)+3ab-ab-b^2\)
\(=a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2+3ab-ab-b^2\)
\(=a^2-a^2+2b^2-b^2-b^2+3ab-ab-2ab\)
\(=0\)
よって、\(a^2+2b^2-c^2+3ab+bc=0\) と言える。
解説
文字を減らす
今回の問題を見ると、文字が \(a\), \(b\), \(c\) と \(3\) つあるのがわかりますね。どの問題でもそうですが、文字が多い式は扱いづらいです。なので、工夫して文字が減らせるのであれば減らしたいところです。条件（\(a+b+c=0\)）を使って、文字を減らして解きやすくしましょう！
\(a+b+c=0\) より
\(c=-a-b\) \(\cdots\) ※
\(c\) に代入して文字を減らそう。ちなみに \(a=\) もしくは \(b=\) にしても同様の結果が得られます！
与式に ※ を代入
\(a^2+2b^2-(-a-b)^2+3ab+b(-a-b)\)
\(=a^2+2b^2-(a^2+2ab+b^2)+3ab-ab-b^2\)
\(=a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2+3ab-ab-b^2\)
代入したら、公式 ① を使用する。
\(a^2-a^2+2b^2-b^2-b^2+3ab-ab-2ab\)
\(=0\)
よって、\(a^2+2b^2-c^2+3ab+bc=0\) と言える。
おわりに
今回は、等式の証明の問題でした。
\(A=B\) の証明について
公式 ① \(A\) か \(B\) の一方を変形して証明する
公式 ② 両辺 \(A\), \(B\) をそれぞれ変形して証明する
公式 ③ 右辺を \(0\) にして、\(A-B=0\) であることを証明する
まずは型に当てはめて解けるようになりましょう。
さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました！
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