【確率】『反復試行』サイコロを５回投げる時の反復試行の確率問題

反復試行の確率（サイコロ編）

反復試行は、同じ試行が繰り返される時に使う考え方です。

例）サイコロを 1 回振る。この試行を ５ 回繰り返すとき、1 の目がちょうど 3 回出る確率を求めなさい。

試行（「サイコロを１回振る。」）が複数回繰り返される時は反復試行の考え方を使います。では、公式と公式の考え方を見ていきましょう。

反復試行の確率の公式

\({}_nC_r\) はなぜ必要か？

例）コインを５回振るとき、４回表が出る確率を求めよ。

　表が出る確率は、\(\displaystyle\frac{1}{2}\)
　裏が出る確率は、\(\displaystyle\frac{1}{2}\)

よって、公式に当てはめると、

$${}_5C_4\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^4\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^1$$

となります。ここで、\({}_5C_4\) が必要な理由を考えてみましょう。

５回振る時とき、４回表が出るパターンを単純に並べてみると、

表,　表,　表,　表,　裏
表,　表,　表,　裏,　表
表,　表,　裏,　表,　表
表,　裏,　表,　表,　表
裏,　表,　表,　表,　表

これらすべて表が４回、裏が１回であることには変わりはありませんね。つまり、何回目に表や裏が出るかを考えなければならないのです。

仮に、\({}_5C_4\) を付けずに、

$$\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^4\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^1$$

としたとすると、これは上記の並び替えの１パターンしか満たしていないことになります。したがって、表が４回、裏が１回の合計５回の並び替え \({}_5C_4\) を掛け算する必要があるのです。

サイコロの確率問題

今回は、反復試行の問題の中でもサイコロを利用した問題です。

サイコロを使った確率問題は非常に多く出題されるので、サイコロの問題で覚えておくと良いポイントをまとめておきます。

特に③はサイコロの問題がきたらすぐに思いつくようにしましょう。サイコロを３回振るときは、\(216\) パターンです。上手い方法が思いつかなかったら、すべて並べてあげれば問題を解くことができることも、念のため覚えておくと良いでしょう。

反復試行の問題

\(1\) つのサイコロを \(5\) 回投げる時、次の確率を求めなさい。

(1)　素数の目がちょうど \(4\) 回出る確率を求めなさい。

(2)　素数の目が \(4\) 回以上出る確率を求めなさい。

反復試行の問題（答案の例）

(1)　素数の目がちょうど \(4\) 回出る確率を求めなさい。

素数の目が出る確率は、\(\displaystyle\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

となる。よって、

\begin{eqnarray} {}_5C_4\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^4\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^1 &=& 5\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{16}\right)\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)\\ &=& 5\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{32}\right)\\ &=& \displaystyle\frac{5}{32} \end{eqnarray}

(2)　素数の目が \(4\) 回以上出る確率を求めなさい。

\(4\) 回出る確率は (1) で求めたので、\(\displaystyle\frac{5}{32}\)

\(5\) 回出る確率は、

\begin{eqnarray} {}_5C_5\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^5\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^0 &=& 1\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{32}\right)\cdot 1\\ &=& \displaystyle\frac{1}{32}\\ \end{eqnarray}

よって、\(\displaystyle\frac{5}{32}+\displaystyle\frac{1}{32}=\displaystyle\frac{6}{32}=\displaystyle\frac{3}{16}\)

反復試行の問題（解説）

(1)　素数の目がちょうど \(4\) 回出る確率を求めなさい。

公式の文字 \(1\) つ \(1\) つを確認してみます。

\({}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\) より \(n=5\),　\(r=4\),　\(p\) について

素数の目は \(2\),　\(3\),　\(5\) より

素数の目が出る確率は、\(p=\displaystyle\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\) となる。

\(n\),　\(r\),　\(p\) を代入すると、

\begin{eqnarray} {}_5C_4\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^4\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^1 &=& 5\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{16}\right)\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)\\ &=& 5\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{32}\right)\\ &=& \displaystyle\frac{5}{32} \end{eqnarray}

なお、\({}_5C_4\)については、素数が出る \(4\) 回分が \(5\) 回中どのタイミングで出てくるかを考慮したものになります。言い換えれば、素数が出ない \(1\) 回分がいつ現れるかを考えることに等しいので、\({}_5C_1\) として計算しても全く同じ答えになりますので、合わせて覚えておきましょう。

(2)　素数の目が \(4\) 回以上出る確率を求めなさい。

まず今回の問題で、「 \(4\) 回以上」という言葉が何を意味しているかを考えましょう。

「素数の目が \(4\) 回以上出る」を言い換えると、「素数の目が \(4\) 回または \(5\) 回出る」となります。

\(4\) 回出る確率は (1) で求めたので、\(\displaystyle\frac{5}{32}\)

\(5\) 回出る確率は、

\begin{eqnarray} {}_5C_5\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^5\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^0 &=& 1\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{32}\right)\cdot 1\\ &=& \displaystyle\frac{1}{32} \end{eqnarray}

確率の計算において、「または」と来たら \(2\) つの確率の足し算となります。

今回、「 \(4\) 回出る」または「 \(5\) 回出る」より、\(4\) 回出る確率と\(5\) 回出る確率の和を考えれば答えとなります。

よって、\(\displaystyle\frac{5}{32}+\displaystyle\frac{1}{32}=\displaystyle\frac{6}{32}=\displaystyle\frac{3}{16}\)

となります。

---

＜補足＞

今回の問題での「または」という表現に関する、確率に出てくる紛らわしい計算を少し見てみましょう。こちらに関する詳しい説明を見たい方は、別の記事で紹介していますので、そちらをチェックしてみてください。まず、以下のような問題を考えます。

\(A\) さんと \(B\) さんがさいころを振ったとき、次の確率を求めよ。

①　\(A\) さんが \(1\) を出す、または、 \(B\) さんが \(1\) を出す確率
②　\(A\) さんが \(1\) を出し、かつ、 \(B\) さんも \(1\) を出す確率

\(2\) つの問題文の違いはすぐにお分かりかと思います。

一つひとつ解き方を考えてみましょう。

①の場合は、「または」なので、\(A\) さんが \(1\) を出す確率と \(B\) さんが \(1\) を出す確率の和を求め、

$$\displaystyle\frac{1}{6}+\displaystyle\frac{1}{6}=\displaystyle\frac{1}{3}$$

となります。

しかし、②の場合は、\(A\) さんが \(1\) を出し、さらに \(B\) さんも \(1\) を出さなければなりません。こちらの方が難易度が高くなりますね。このように、「かつ」などの表現が使われるものは、文章の前後の事象がどちらも起こらなければなりません。「または」の場合は、文章の前後の事象のうち、どちらか一方が起こればよかったので、この点で①と②には大きな違いがあります。ちなみに、②の場合の計算は、和ではなく積を考えます。

よって、

$$\displaystyle\frac{1}{6} \times \displaystyle\frac{1}{6}=\displaystyle\frac{1}{36}$$

となります。結果を見ても、②の方が難しことがわかりますね。

おわりに

今回は、サイコロを５回投げる時の反復試行の確率問題でした。