メニュー
夏休みは免許合宿!
カテゴリー
yu-to
オンライン家庭教師/ブログ運営
本ブログを運営しているyu-toと申します。

勉強は”孤独”です。
塾に行っていても、友達と勉強していても、最後はどれだけ孤独と戦えるかが重要です。

このブログでは、孤独と戦う受験生や社会人になってから学び直している人、子供に勉強を教えるお母さんお父さんに向けてなるべく途中式を飛ばさずに解説をまとめています。

少しでも助けになると幸いです。
LINE無料相談こちらをクリック

【確率】『反復試行』サイコロを5回投げる時の反復試行の確率問題

  • URLをコピーしました!
目次

反復試行の確率(サイコロ編)

反復試行は、同じ試行が繰り返される時に使う考え方です。

例)サイコロを 1 回振る。この試行を 5 回繰り返すとき、1 の目がちょうど 3 回出る確率を求めなさい。

試行(「サイコロを1回振る。」)が複数回繰り返される時は反復試行の考え方を使います。では、公式と公式の考え方を見ていきましょう。

反復試行の確率の公式

反復試行の公式

\(1\) 回の試行で事象 \(A\) が起こる確率を \(p\) とする。この試行を \(n\) 回繰り返すとき、

事象 \(A\) がちょうど \(r\) 回起こる確率は、

$${}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}$$

となる。

\({}_nC_r\) はなぜ必要か?

例)コインを5回振るとき、4回表が出る確率を求めよ。

 表が出る確率は、\(\displaystyle\frac{1}{2}\)
 裏が出る確率は、\(\displaystyle\frac{1}{2}\)

よって、公式に当てはめると、

$${}_5C_4\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^4\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^1$$

となります。ここで、\({}_5C_4\) が必要な理由を考えてみましょう。

5回振る時とき、4回表が出るパターンを単純に並べてみると、

表, 表, 表, 表, 
表, 表, 表, , 表
表, 表, , 表, 表
表, , 表, 表, 表
, 表, 表, 表, 表

これらすべて表が4回、裏が1回であることには変わりはありませんね。つまり、何回目に表や裏が出るかを考えなければならないのです。

仮に、\({}_5C_4\) を付けずに、

$$\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^4\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^1$$

としたとすると、これは上記の並び替えの1パターンしか満たしていないことになります。したがって、表が4回、裏が1回の合計5回の並び替え \({}_5C_4\) を掛け算する必要があるのです。

サイコロの確率問題

今回は、反復試行の問題の中でもサイコロを利用した問題です。

サイコロを使った確率問題は非常に多く出題されるので、サイコロの問題で覚えておくと良いポイントをまとめておきます。

① \(1\) の目から \(6\) の目まである。

② どの目が出る確率も同様に確からしい。

⇨ どの目も出る確率は均一に \(\displaystyle\frac{1}{6}\) となる。

③ さいころの出目の全パターン

 \(2\) 回振る ⇨  \(6 \times 6=36\) 通り
 \(3\) 回振る ⇨  \(6 \times 6 \times 6=216\) 通り
 \(4\) 回振る ⇨  \(6 \times 6 \times 6 \times 6=1296\) 通り

特に③はサイコロの問題がきたらすぐに思いつくようにしましょう。サイコロを3回振るときは、\(216\) パターンです。上手い方法が思いつかなかったら、すべて並べてあげれば問題を解くことができることも、念のため覚えておくと良いでしょう。

理系大学レベル別おすすめ数学テキスト
>>

反復試行の問題

\(1\) つのサイコロを \(5\) 回投げる時、次の確率を求めなさい。

(1) 素数の目がちょうど \(4\) 回出る確率を求めなさい。

(2) 素数の目が \(4\) 回以上出る確率を求めなさい。

反復試行の問題(答案の例)

(1) 素数の目がちょうど \(4\) 回出る確率を求めなさい。

素数の目が出る確率は、\(\displaystyle\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

となる。よって、

\begin{eqnarray} {}_5C_4\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^4\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^1 &=& 5\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{16}\right)\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)\\ &=& 5\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{32}\right)\\ &=& \displaystyle\frac{5}{32} \end{eqnarray}

(2) 素数の目が \(4\) 回以上出る確率を求めなさい。

\(4\) 回出る確率は (1) で求めたので、\(\displaystyle\frac{5}{32}\)

\(5\) 回出る確率は、

\begin{eqnarray} {}_5C_5\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^5\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^0 &=& 1\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{32}\right)\cdot 1\\ &=& \displaystyle\frac{1}{32}\\ \end{eqnarray}

よって、\(\displaystyle\frac{5}{32}+\displaystyle\frac{1}{32}=\displaystyle\frac{6}{32}=\displaystyle\frac{3}{16}\)

反復試行の問題(解説)

(1) 素数の目がちょうど \(4\) 回出る確率を求めなさい。

公式の文字 \(1\) つ \(1\) つを確認してみます。

\({}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\) より \(n=5\), \(r=4\), \(p\) について

素数の目は \(2\), \(3\), \(5\) より

素数の目が出る確率は、\(p=\displaystyle\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\) となる。

\(n\), \(r\), \(p\) を代入すると、

\begin{eqnarray} {}_5C_4\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^4\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^1 &=& 5\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{16}\right)\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)\\ &=& 5\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{32}\right)\\ &=& \displaystyle\frac{5}{32} \end{eqnarray}

なお、\({}_5C_4\)については、素数が出る \(4\) 回分が \(5\) 回中どのタイミングで出てくるかを考慮したものになります。言い換えれば、素数が出ない \(1\) 回分がいつ現れるかを考えることに等しいので、\({}_5C_1\) として計算しても全く同じ答えになりますので、合わせて覚えておきましょう。

(2) 素数の目が \(4\) 回以上出る確率を求めなさい。

まず今回の問題で、「 \(4\) 回以上」という言葉が何を意味しているかを考えましょう。

「素数の目が \(4\) 回以上出る」を言い換えると、「素数の目が \(4\) 回または \(5\) 回出る」となります。

\(4\) 回出る確率は (1) で求めたので、\(\displaystyle\frac{5}{32}\)

\(5\) 回出る確率は、

\begin{eqnarray} {}_5C_5\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^5\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^0 &=& 1\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{32}\right)\cdot 1\\ &=& \displaystyle\frac{1}{32} \end{eqnarray}

確率の計算において、「または」と来たら \(2\) つの確率の足し算となります。

今回、「 \(4\) 回出る」または「 \(5\) 回出る」より、\(4\) 回出る確率と\(5\) 回出る確率の和を考えれば答えとなります。

よって、\(\displaystyle\frac{5}{32}+\displaystyle\frac{1}{32}=\displaystyle\frac{6}{32}=\displaystyle\frac{3}{16}\)

となります。


<補足>

今回の問題での「または」という表現に関する、確率に出てくる紛らわしい計算を少し見てみましょう。こちらに関する詳しい説明を見たい方は、別の記事で紹介していますので、そちらをチェックしてみてください。まず、以下のような問題を考えます。

\(A\) さんと \(B\) さんがさいころを振ったとき、次の確率を求めよ。

① \(A\) さんが \(1\) を出す、または、 \(B\) さんが \(1\) を出す確率
② \(A\) さんが \(1\) を出し、かつ、 \(B\) さんも \(1\) を出す確率

\(2\) つの問題文の違いはすぐにお分かりかと思います。

一つひとつ解き方を考えてみましょう。

①の場合は、「または」なので、\(A\) さんが \(1\) を出す確率と \(B\) さんが \(1\) を出す確率の和を求め、

$$\displaystyle\frac{1}{6}+\displaystyle\frac{1}{6}=\displaystyle\frac{1}{3}$$

となります。

しかし、②の場合は、\(A\) さんが \(1\) を出し、さらに \(B\) さんも \(1\) を出さなければなりません。こちらの方が難易度が高くなりますね。このように、「かつ」などの表現が使われるものは、文章の前後の事象がどちらも起こらなければなりません。「または」の場合は、文章の前後の事象のうち、どちらか一方が起こればよかったので、この点で①と②には大きな違いがあります。ちなみに、②の場合の計算は、和ではなく積を考えます。

よって、

$$\displaystyle\frac{1}{6} \times \displaystyle\frac{1}{6}=\displaystyle\frac{1}{36}$$

となります。結果を見ても、②の方が難しことがわかりますね。

<補足>のまとめ

「\(A\) または \(B\)」

⇨ \(A\) か \(B\) のどちらかが起こればいい
⇨ 和を計算する

「\(A\) かつ \(B\)」(\(A\) が起きてさらに \(B\) が起こる)

⇨ \(A\) と \(B\) どちらも起こらなければならない
⇨ 積を計算する

詳しくはこちらの記事にも

おわりに

今回は、サイコロを5回投げる時の反復試行の確率問題でした。

反復試行の公式

\(1\) 回の試行で事象 \(A\) が起こる確率を \(p\) とする。この試行を \(n\) 回繰り返すとき、

事象 \(A\) がちょうど \(r\) 回起こる確率は、

$${}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}$$

となる。

さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました!

数学は、時間をかけて勉強すれば誰でも成績を上げられます!

しかし、時間には限りがあります。

アプリや塾/家庭講師など自分に合ったサポートを取り入れることで、限りある時間を効率的に使いましょう!

「あなたなりの必勝法見つけませんか?」

現状と目標は人それぞれです。それによって最適解も異なります。限られた時間の中で、自分だけの最適解を探すのは至難の業です…

これまで、塾講師、家庭教師、オンライン家庭教師、高校教員と教育業界の全てを経験した私が数学の勉強法を教えます!

LINEで無料で相談できるので!この機会にぜひ!

>>

よかったらシェアしてね!
  • URLをコピーしました!
  • URLをコピーしました!

質問や感想はコメントへ!

コメント一覧 (1件)

コメントする

目次