【順列】『男女の並び方』隣り合う並び方と両端に決まった人が来る並び方

順列『男女の並び方』

今回は、男女の並び方を題材にした順列の場合の数を求める問題です。

順列の公式を覚えておく必要があることはもちろんですが、それに加えて、「並びを固定」したり、「ひとかたまり」にしたりする場面があります。どういった問題で「固定」「ひとかたまり」といった方法を使うのかを確認しながら進めましょう！

ひとまとまりにして考える

例）\(A\),　\(B\),　\(C\),　\(D\),　\(E\) の内、\(B\),　\(C\) が隣り合う場合は、

\(A\) (\(B\) \(C\)) \(D\) \(E\)

\(BC\) を \(\spadesuit\) とおき、ひとかたまりにします。

\(A\) \(\spadesuit\) \(D\) \(E\)

このように \(B\) \(C\) をひとかたまりにし、異なる \(4\) つの順列を計算します。そうすることによって、\(B\) と \(C\) が隣り合った状態の並び順を計算することができます。

（続きは割愛）

固定して考える

例）\(A\),　\(B\),　\(C\),　\(D\),　\(E\) の内、\(B\),　\(C\) が両端にある時は、両端に固定します。

\(B\),　\(A\),　\(D\),　\(E\),　\(C\)

このように \(B\),　\(C\) を両端に固定し、固定されていない部分の順列を計算します。

男女の並び方の問題

男子 \(A\),　\(B\),　\(C\) と女子 \(D\),　\(E\),　\(F\),　\(G\) の \(7\) 人が \(1\) 列に並ぶ時次の場合の数を求めなさい。
(1) 　\(A\) と \(B\) が隣り合う
(2)　 \(A\) と \(B\) が両端にくる

答案の例

(1)

\(AB\) を \(\spadesuit\) と置き換えると

\(\spadesuit\) \(C\) \(D\) \(E\) \(F\) \(G\)

の \(6\) つの順列となり、\(6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720\)

\(\spadesuit\) 内の並び方には \(AB\) と \(BA\) のパターンがあるので、\(6!\times 2=720\times 2=1440\)

(2)

\(A\),　\(B\) を両端に固定するので、真ん中の \(5\) つの順列は、

\(5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\)

(1) と同様に \(A\) と \(B\) を入れ替えても、

\(B\) \(C\) \(D\) \(E\) \(F\) \(G\) \(A\) となり、条件を満たすので、

\(5!\times 2=120\times 2=240\)

解説

(1)

\(A\) と \(B\) をひとまとまりにして考えます。

\(AB\) を \(\spadesuit\) と置き換えると

\(\spadesuit\) \(C\) \(D\) \(E\) \(F\) \(G\) の \(6\) つの順列となり、

\(6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720\)

のように計算できます。

ここで注意点として、\(\spadesuit\) 内の並び方には \(AB\) と \(BA\) のパターンがあるということです。

たとえば、

\(G\) \(\spadesuit\) \(C\) \(D\) \(E\) \(F\)

という並びであれば、

\(G\) \(A\) \(B\) \(C\) \(D\) \(E\) \(F\)
\(G\) \(B\) \(A\) \(C\) \(D\) \(E\) \(F\)

のように2種類の並びがありますね。これが上記の \(720\) 通りすべてに適用されるので、\(720\times 2=1440\)

(2)

\(A\) と \(B\) を両端に固定して考えます。

\(A\) \(C\) \(D\) \(E\) \(F\) \(G\) \(B\)

固定していない真ん中の \(5\) つの順列は、

\(5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\)

(1) と同様に \(A\) と \(B\) を入れ替えても

\(B\) \(C\) \(D\) \(E\) \(F\) \(G\) \(A\) となり、条件を満たすので、\(5!\times 2=120\times 2=240\)

おわりに

今回は、男女の並び方を題材にした順列の場合の数を求める問題でした。

ひとかたまりにするパターンと両端を固定するパターンをしっかりと覚えておきましょう。