高校で習う 2 点を通る直線の方程式
中学の時に学習した\(1\) 次関数は覚えていますでしょうか？
\(a\neq 0\), \(y=ax+b\)
\(a\) は傾き、\(b\) は切片を表しています。
中学では、定数 \(a\), \(b\) を連立方程式などを用いて求めましたが、高校ではより計算スピードを上げるため別の方法で求めます。
直線の方程式の公式１
座標平面上の異なる \(2\) 点 \((x_1\), \(y_1)\), \((x_2\), \(y_2)\) を通る直線の方程式は、
\(y-y_1=\displaystyle\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\)
と表すことができる。
例題１と解説
例題１
\((1\), \(3)\), \((3\), \(6)\) を通る直線の方程式を求めなさい。
解説
\(y-3=\displaystyle\frac{6-3}{3-1}(x-1)\)
\(y=\displaystyle\frac{3}{2}(x-1)+3\)
\(=\displaystyle\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}+\frac{6}{2}\)
\(=\displaystyle\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}\)
公式１のポイント
一般的な公式です。\(\displaystyle\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) の部分により直線の傾きが
表されていることがわかりやすい公式となっています。しかし、傾きの分母 \(x_2-x_1\) の
部分が \(0\) ではないというのが公式の成立条件ですので、\(x_2-x_1=\) のとき、
すなわち \(x_2=x_1\) のときは別の式を用いる必要があります。
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直線の方程式の公式２
座標平面上の異なる \(2\) 点 \((x_1\), \(y_1)\), \((x_2\), \(y_2)\) を通る直線の方程式は、
\((y-y_1)(x_2-x_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)\)
と表すことができる。
例題２と解説
例題２
\((a\), \(3)\), \((b\), \(4)\) を通る直線の方程式を求めなさい。
解説
\((y-3)(b-a)=(4-3)(x-a)\)
\((y-3)(b-a)=x-a\)
補足）
\((i)\) \(a\neq b\) のとき、
\((y-3)(b-a)=x-a\)
\((ii)\) \(a=b\) のとき、
\(0=x-a\)
\(x=a\)
公式２のポイント
解答の \((y-3)(b-a)=x-a\) について、\(a\neq b\) のときはもちろん成り立ちますし、
\(a=b\) のときも左辺が \(0\) となり成り立ちますので、別の公式を用いる必要なく、
この式だけで完結します。
直線の方程式の公式３
座標平面上の異なる \(2\) 点 \(A(x_1\), \(y_1)\), \(B(x_2\), \(y_2)\) を通る直線の方程式は、媒介変数 \(t\) を用いて、
\((x\), \(y)=(x_1\), \(y_1)+t(x_2-x_1\), \(y_2-y_1)\)
と表すことができる。
例題３と解説
例題３
\(A(a\), \(2)\), \(B(a+b\), \(6)\) を通る直線の方程式を媒介変数を用いて表せ。
解説
\((x\), \(y)=(a+t(a+b-a)\), \(2+(6-2))\)
\((x\), \(y)=(a\), \(2)+t(b\), \(4)\)
公式３のポイント
直線上の任意の点 \((x\), \(y)\) から \(A(x_1\), \(y_1)\) までの距離を \(t\) の値を用いて
表している点が特徴です。
おわりに
以上３パターンの直線の方程式の求め方でした。
直線の方程式を用いた問題は他にもこのようなものがあります。ぜひ解いてみてください。
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
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個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
ご連絡お待ちしております。
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