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【図形と方程式】直線の方程式|定点と傾きから求める

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目次

直線の方程式

今回は直線の方程式を求める問題です!

直線は中学校の時にも扱った内容です。

中学復習

例題)点 \((2\), \(3)\) を通り、傾き \(3\) の直線の方程式を求めなさい。

\(y=ax+b\) より傾きが \(3\) なので、\(y=3x+b\)

点 \((2\), \(3)\) を通るので、

\(3=3\times 2+b\)
\(3=6+b\)
\(b=-3\)

よって、\(y=3x-3\)

これが中学までのやり方です。しかし、この方法だと途中式が多く時間がかかりすぎます。そこで、高校数学では同じ問題をよりスムーズに解く方法を学びます。

↓高校で習う直線の方程式の求め方

直線の方程式の公式

点 \((x_1\), \(y_1)\) を通り、傾き \(m\) の直線の方程式は、

\(y-y_1=m(x-x_1)\), \(m=\displaystyle\frac{yの増加量}{xの増加量}\)

条件は中学の時と同じですが、条件を一気に当てはめて解くことにより解くスピードが上がります。高校数学はスピードが大切なので、「中学の時のやり方でいいや〜」ではなくて、しっかりとこっちのやり方に慣れましょう!

直線の方程式を求めるために必要な条件

( i ) 通る点 \(2\) つ

( ii ) 通る点 \(1\) つと傾き

( iii ) 傾きと切片

問題文を見て、どのパターンに当てはまるのかを考えましょう。これらの条件が与えられていない時でも、これらの条件を導くところから始まります。

直線の方程式(問題)

\(2\) 直線 \(x+y-4=0\) \(\cdots\) ①, \(2x-y+1\) \(\cdots\)② の交点を通り、点 \((-1\), \(2)\) を通る直線の方程式を求めよ。

答案の例

\(\begin{cases}x+y-4=0\cdots (i)\\ 2x-y+1=0 \cdots (ii)\end{cases}\)

\((i)+(ii)\) より

 \(3x-3=0\)
 \(x=1\)

\((i)\) に代入

 \(1+y-4=0\)
 \(y=3\)

交点 \((1\), \(3)\)

よって、\((1\), \(3)\) と \((-1\), \(2)\) を通ることがわかったので、\(y-3=\displaystyle\frac{3-2}{1-(-1)}(x-1)\)

したがって、

\(y-3=\displaystyle\frac{1}{2}(x-1)\)
\(y-3=\displaystyle\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\)
\(y=\displaystyle\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+3\)
\(y=\displaystyle\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+\frac{6}{2}\)
\(y=\displaystyle\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\)

解説

STEP1 \(2\) 直線の交点を求める。

\(\begin{cases}x+y-4=0\cdots (i)\\ 2x-y+1=0 \cdots (ii)\end{cases}\)

\((i)+(ii)\) より

 \(3x-3=0\)
 \(x=1\)

\((i)\) に代入

 \(1+y-4=0\)
 \(y=3\)

よって、交点は \((1\), \(3)\)

STEP2 条件より直線の方程式を求める

上記で求めた交点 \((1\), \(3)\) と問いにある点 \((-1\), \(2)\) を通ることがわかったので、このことから傾きを求める。

 \(傾き=\displaystyle\frac{3-2}{1-(-1)}=\displaystyle\frac{1}{2}\)

よって、点 \((1\), \(3)\) を通り、傾き \(\displaystyle\frac{1}{2}\) の直線の方程式を求めれば良い。

\(y-3=\displaystyle\frac{1}{2}(x-1)\)
\(y-3=\displaystyle\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\)
\(y=\displaystyle\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+3\)
\(y=\displaystyle\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+\frac{6}{2}\)\(y=\displaystyle\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\)

おわりに

さいごまで読んでいただきありがとうございました!

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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。

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