【確率】『原因の確率』例題と解説

2022年7月5日2024年1月4日

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原因の確率とは、
ある事象が起こったという結果から、この結果をもたらした原因がどの事象によるものであるかの確率のこと。

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原因の確率の例題

例題

ある品物を製造するとき、\(A\) 工場の製品には \(5\)%、\(B\) 工場の製品には \(3\) %の不良品が含まれる。\(A\) 工場の製品 \(100\) 個と \(B\) 工場の製品 \(150\) 個の合計 \(250\) 個の中から \(1\) 個を取り出すとき、その製品が不良品であったとき、\(A\) 工場の製品である確率を求めよ。

問題の要約
ある製品を取り出した時、その製品が不良品であったとき、その不良品が \(A\) 工場の製品である確率を求めよ。

結果：不良品であった
原因：\(A\) 工場の製品である

※「不良品であった」という結果から「\(A\) 工場の製品である」という原因である確率を求めたい。

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原因の確率の例題の解説

STEP1　\(A\)工場の不良品である確率

【(1)の考え方と解答】
今回の問題では，\(1\) 個の製品を取り出すとき、その製品が、\(A\) 工場の製品であるという事象を \(A\)、\(B\) 工場の製品であるという事象を \(B\)、不良品であるという事象を \(E\) とします。

製品を \(1\) 個取り出すとき、

　\(P(A\cap E)=P(A)\times P_A(E)\)
\(=\displaystyle\frac{100}{250}\times \frac{5}{100}=\frac{1}{50}\)

STEP2　不良品である確率

製品を \(1\) つ取り出す時、その製品が「\(A\) 工場である」場合か「\(B\) 工場である」場合があります。よって、

　\(P(E)=P(A\cap E)+P(B\cap E)\)
\(=P(A)P_A(E)+P(B)P_B(E)\)
\(=\displaystyle\frac{100}{250}\times \frac{5}{100}+\frac{150}{250}\times \frac{3}{100}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{50}+\frac{9}{500}\)
\(=\displaystyle\frac{19}{500}\)

STEP3　不良品であったとき、\(A\) 工場の製品である確率

不良品であるという事象を全事象と考えたときにその製品が \(A\) であるときの確率を求める。よって、

　\(P_E(A)=\displaystyle\frac{P(E\cap A)}{P(E)}\)

　\(P(E)=\displaystyle\frac{19}{500}\) より
\(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{50}}{\displaystyle\frac{19}{500}}=\displaystyle\frac{10}{19}\)