今回扱う問題は、指数が含まれた不等式です。
以下のような式を扱います。
\(25^x-3\cdot 5^x-10\geq 0\)
式を変形し、別の文字（\(t\) など）に置き換えることによって解くことができます。
※ 解説は下部にあります。
指数不等式を解くために必要な公式
【\(0\) や負の整数の指数】
\(a\neq 0\) で、\(n\) が正の整数のとき
\(a^0=1\), \(a^{-n}=\displaystyle\frac{1}{a^n}\)
【指数法則】
\(a\neq 0\), \(b\neq 0\) で、\(m\), \(n\) が整数のとき、
① \(a^ma^n=a^{m+n}\)
①’ \(\displaystyle\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
② \((a^m)^n=a^{mn}\)
③ \((ab)^n=a^nb^n\)
③’ \(\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^n=\displaystyle\frac{a^n}{b^n}\)
【累乗根の性質】
\(a>0\), \(b>0\) で \(m\), \(n\), \(p\) が正の整数のとき
① \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)
② \(\displaystyle\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)
③ \((\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[nb]{a^{mp}}\)
④ \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)
⑤ \(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[np]{a^{mp}}\)
指数不等式の問題
(1) \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{2x+2}<\left(\displaystyle\frac{1}{16}\right)^{x-1}\)
(2) \(2\cdot 4^x-17\cdot 2^x+8<0\)
(3) \(25^x-3\cdot 5^x-10\geq 0\)
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解説
(1) \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{2x+2}<\left(\displaystyle\frac{1}{16}\right)^{x-1}\)
\(2^{-(2x+2)}<2^{-4(x-1)}\)
\(2^{-2x-2}<2^{-4x+4}\)
\(-2x-2<-4x+4\)
\(2x<6\)
\(x<3\)
(2) \(2\cdot 4^x-17\cdot 2^x+8<0\)
\(2\cdot 2^{2x}-17\cdot 2^x+8<0\)
\(2\cdot (2^x)^2-17\cdot 2^x+8<0\)
ここで、\(2^x=t\) とおくと、
\(2\cdot t^2-17t+8<0\)
\((2t-1)(t-8)<0\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}<t<8\)
(3) \(25^x-3\cdot 5^x-10\geq 0\)
\((5^2)^x-3\cdot 5^x-10\geq 0\)
\((5^x)^2-3\cdot 5^x-10\geq 0\)
ここで、\(5^x=t\) とおくと、
\(t^2-3t-10\geq 0\)
\((t-5)(t+2)\geq 0\)
\(t\leq -2\), \(5\leq t\)
おわりに
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