【場合の数】重複順列と重複組合せの違い

2023年3月13日2024年1月4日

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順列と組合せ

順列
異なる \(n\) 個の中から異なる \(r\) 個を取り出して \(1\) 列に並べる順列の総数は、

\({}_nP_r=n\times (n-1)\times (n-2)\times\cdots\times (n-r+1)\)

組合せ
異なる \(n\) 個の中から異なる \(r\) 個を取り出す組合せの総数は、
　\({}_nC_r=\displaystyle\frac{{}_nP_r}{r!}\)

順列と組合せの違い
取り出したあと、「並べる」か「並べない」かで判別します。「並べる」場合は順列、「並べない」場合は組合せとなります。

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重複順列と重複組合せ

重複順列

異なる \(n\) 個のものから、重複を許して \(r\) 個を取り出して並べる順列の総数は、
第 \(1\),　第 \(2\),　\(\cdots\) 第 \(r\) それぞれの選び方はすべて \(n\) 通りで、
　\(n\times n\times n\times\cdots\times n=n^r\)
である。

例題）

\(1\) と \(2\) の数字を重複を許して、\(5\) 個を取り出して並べる。

　\(2\times 2\times 2\times 2\times 2=32\)

重複組合せ

異なる \(n\) 個のものから、重複を許して \(r\) 個取る組合せ（重複組合せ）の総数は、
　\({}_nH_r={}_{n+r-1}C_r\)

例題）

柿、りんご、みかんの \(3\) 種類の果物が店頭にたくさんある。\(5\) 個の果物を買うとき、何通りの買い方があるか。ただし、含まれない果物があってもよいものとする。

\(3\) 種類の果物 \(5\) 個の買い方を表すために、\(5\) つの ◯ と\(2\) つの仕切り( | )で表します。

例えば、
　◯ ◯ | ◯ | ◯ ◯ なら、柿 \(2\) つ、りんご \(1\) つ、みかん \(2\) つ
　| | ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ なら、柿 \(0\) つ、りんご \(0\) つ、みかん \(5\) つ
を表しています。

よって、求める場合の数は、
　\({}_{5+3-1}C_5={}_7C_5={}_7C_2=21\)

なぜ、急に「◯」と「｜」が現れたのか混乱した人もいるかもしれません。

これは別の見方で場合の数を数えようとしているのです。
例えば、「あるクラスの人数を知りたい」とします。実際にクラスのメンバーを数えてもいいですが、「下駄箱」や「使用されてるロッカー」を数えても同じものが求められます。このように、求めたいものを直接数えるのではなく、別の捉え方をする解法は他にもさまざまあります。

今回は、区切りと区切りの間の「◯」を各果物に見立ててます。

　柿の個数｜りんごの個数｜みかんの個数

のように考えます。

この並び方が今回の場合の数を求めることになるのです。