接線の方程式
接線を求めるために必要な要素は、接点と傾きです。
接点と傾きは、問いに与えられている時もあれば与えられていない時もあります。
接点が与えられていない時
→ 接点を文字に置く。
傾きが与えられていない時
→ 微分することにより求める。
接線の方程式を求めるための公式
\(y=f(x)\) 上の点 \((t\), \(f(t))\) における接線の方程式は、
\(y-f(t)=f'(t)(x-t)\) (\(f'(t)：接線の傾き)
接線の傾きを求める手順
① \(f(x)\) を微分をする。(\(f'(x)\) を求める)
② \(f'(x)\) の \(x\) 座標に接点の \(x\) 座標を代入する。
③ \(y-f(t)=f'(t)(x-t)\) に代入する
接線の方程式（問題）
点 \((2\), \(-2)\) から曲線 \(y=\displaystyle\frac{1}{3}x^3-x\) に引いた接線の方程式を求めよ。
理系大学レベル別おすすめ数学テキスト
＞＞【理系大学向け】選ぶ時間を短縮！レベル別おすすめの数学参考書
答案の例
接点 \((t\), \(\displaystyle\frac{1}{3}t^3-t)\) とおき、さらに \(y=f(x)\) とおく。
\(f'(x)=x^2-1\)
\(f'(t)=t^2-1\)
公式に代入すると、
\(y-\left(\displaystyle{1}{3}t^3-t\right)=(t^2-1)(x-t)\)
\(y-\left(\displaystyle{1}{3}t^3-t\right)=(t^2-1)x-(t^2-1)t\)
\(y-\left(\displaystyle{1}{3}t^3-t\right)=(t^2-1)x-t^3+t\)
\(y=(t^2-1)x-t^3+t+\displaystyle{1}{3}t^3-t\)
\(y=(t^2-1)x-\displaystyle{2}{3}t^3\) \(\cdots\) ※
ここで、接線 ※ は点 \((2\), \(-2)\) を通るので、
\(-2=(t^2-1)\times 2-\displaystyle{2}{3}t^3\)
\(-2=2t^2-2-\displaystyle{2}{3}t^3\)
\(0=2t^2-\displaystyle{2}{3}t^3\)
\(-\displaystyle{2}{3}t^3+2t^2=0\)
\(\displaystyle{2}{3}t^3-2t^2=0\)
\(2t^3-6t^2=0\)
\(2t^2(t-3)=0\)
\(t=0\), \(3\)
\(t=0\) のとき \(y=-x\)
\(t=3\) のとき \(y=8x-18\)
解説
問題文に接点が明記されていないため、接点を文字に置く必要があります。
接点は、関数 \(y\) を通るので、接点 \((t\), \(\displaystyle\frac{1}{3}t^3-t)\) とおき、さらに \(y=f(x)\) とおく。
\(f(x)\) より傾きを求める
\(f'(x)=x^2-1\)
\(f'(t)=t^2-1\) ← 傾き
接点と傾きを求めることができたので、公式に当てはめて接線の方程式を求める。
※ 全て \(t\) で表されてるので、扱いづらいがそのまま公式に当てはめる。
接点：\((t\), \(\displaystyle\frac{1}{3}t^3-t)\)
傾き：\(t^2-1\)
\(y-\left(\displaystyle{1}{3}t^3-t\right)=(t^2-1)(x-t)\)
\(y-\left(\displaystyle{1}{3}t^3-t\right)=(t^2-1)x-(t^2-1)t\)
\(y-\left(\displaystyle{1}{3}t^3-t\right)=(t^2-1)x-t^3+t\)
\(y=(t^2-1)x-t^3+t+\displaystyle{1}{3}t^3-t\)
\(y=(t^2-1)x-\displaystyle{2}{3}t^3\) \(\cdots\) ※
ここで、接線 ※ は点 \((2\), \(-2)\) を通るので、
\(-2=(t^2-1)\times 2-\displaystyle{2}{3}t^3\)
\(-2=2t^2-2-\displaystyle{2}{3}t^3\)
\(0=2t^2-\displaystyle{2}{3}t^3\)
\(-\displaystyle{2}{3}t^3+2t^2=0\)
\(\displaystyle{2}{3}t^3-2t^2=0\)
\(2t^3-6t^2=0\)
\(2t^2(t-3)=0\)
\(t=0\), \(3\)
\(t=0\) のとき ※ より接線は、\(y=-x\) となる
\(t=3\) のとき ※ より接線は、\(y=8x-18\) となる
おわりに
今回は、微分で接線の方程式を求める方法についてでした。
接線の方程式に必要なのは、接点と傾きです。
接点：問題にない時は、文字でおく。
傾き：微分した式に接点の 座標を代入する。
接点が与えられているかどうか、傾きが与えられているかどうかは問題文をしっかりと読んで判断しましょう。
さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました！
数学は、時間をかけて勉強すれば誰でも成績を上げられます！
しかし、時間には限りがあります。
アプリや塾/家庭講師など自分に合ったサポートを取り入れることで、限りある時間を効率的に使うことができます。
▼自走して学習が進められる人
日々の悩みを解決できるコーチング面談や日々の学習計画を見直せるサポートがおすすめです。
▼自走して学習が進められない人
毎週講師による授業をしっかり受けて、宿題を設定してもらうサポートがおすすめです。
コメントはお気軽に♪
コメント一覧 （2件）
[…] 微分で傾きを求めて接線を求める。接線の方程式を求める公式を解説 […]
[…] 接線の方程式 接線の方程式の問題はこちらをチェック 微分で傾きを求めて接線を求める。接線の方程式を求める公式を解説 […]