対数方程式
今回は対数が含まれた方程式の解き方です！
対数の公式を駆使するのが難しいところですが、しっかりと公式を覚えて、最初のうちは公式を見ながら式形できるように解き進めましょう。
① \(p=p\log_a a\) ( \(\log_a a=1\) )
② \(\log_a p=\log_a q\) のとき、\(p=q\) となる。
（\(a\) は底、\(p\), \(q\) は真数と呼ぶ。）
③ \(\log_a M+\log_a N=\log_a MN\)
① 実数を対数で表す際に使用する公式
例）\(3\) を底 \(2\) の対数で表したい時、\(3=3\log_2 2\)
③ 対数の底が揃っている時に使える公式
証明
\(\log_a M=A\)
\(\log_a N=B\) とおくと
\(a^A=M\), \(a^B=N\)
\(M\times N=a^A\times a^B\)
\(M\times N=a^{A+B}\)
\(\log_a MN=A+B\)
\(\log_a MN=\log_a M+\log_a N\)
対数方程式（問題）
次の方程式を解け。
\(\log_3 x+\log_3 (x-2)=1\)
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答案の例
\(\log_3 x+\log_3 (x-2)=1\)
真数条件より
\(x\geq 0\), \(x-2\geq 0\)
\(x\geq 0\), \(x\geq 2\)
よって、\(x\geq 2\)
\(\log_3 x+\log_3 (x-2)=1\)
\(\log_3 {x\times (x-2)}=\log_3 3\)
\(\log_3 (x^2-2x)=\log_3 3\)
\(x^2-2x=3\)
\(x^2-2x-3=0\)
\((x-3)(x+1)=0\)
\(x=3\), \(-1\)
\(x\geq 2\) より \(x=3\)
解説
STEP1 真数条件を確認する。つまり、（真数）\(\geq 0\) であることから \(x\) の満たす範囲を求める。
\(\log_3 x+\log_3 (x-2)=1\)
\(x\geq 0\), \(x-2\geq 0\)
\(x\geq 0\), \(x\geq 2\)
よって、\(x\geq 2\)
STEP2 方程式を整理する
\(\log_3 x+\log_3 (x-2)=1\)
\(\log_3 {x\times (x-2)}=\log_3 3\)
\(\log_3 (x^2-2x)=\log_3 3\)
したがって、
\(x^2-2x=3\)
\(x^2-2x-3=0\)
\((x-3)(x+1)=0\)
\(x=3\), \(-1\)
\(x\geq 2\) より \(x=3\)
おわりに
今回は、ログが含まれた方程式の解き方でした。
対数独特の公式を覚えることは当然ですが、実際に使えるように演習を重ねましょう。公式を無理して覚えようとしなくても良いです。公式を眺めながら解くということを繰り返せば、自ずと覚えられます。
さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました！
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