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【図形と方程式】点と直線の距離

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目次

点と直線の距離の公式の証明

今回は点と直線の距離の公式の証明と例題を解説していきます。

これまで、点と点の距離でしたら、三平方の定理を用いて求めることができましたね。しかし、今回は点と直線の距離を求めます。

点と直線の距離の公式

【点と直線の距離】

点\(A(x_0\), \(y_0)\) と直線\(l\):\(ax+by+c=0\) の距離を \(d\) とおくと、

\(d=\displaystyle\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

点と直線の距離の公式の証明

直線 \(l\):\(ax+by+c=0\), 点\(A(x_0\), \(y_0)\) の距離 \(d\) を図示すると、

ここで、点 \(A\) を原点に平行移動させる。それに伴って同様に直線 \(l\) も平行移動させる。

平行移動させたあとの直線 \(l\) を式にすると、

 \(a(x+x_0)+b(y+y_0)+c=0\)

青い直線の式は、

\(y=\displaystyle\frac{b}{a}x\)

\(a(x+x_0)+b(y+y_0)+c=0\) に \(y=\displaystyle\frac{b}{a}x\) を代入すると、

\(a(x+x_0)+b \left(\displaystyle\frac{b}{a}x+y_0\right)+c=0\)

\(ax+ax_0+\displaystyle\frac{b^2}{a}x+by_0+c=0\)

\(\displaystyle\frac{a^2+b^2}{a}x+ax_0+by_0+c=0\)

\((a^2+b^2)x+a^2x_0+aby_0+ac=0\)

\((a^2+b^2)x=-a^2x_0-aby_0-ac\)

\(x=\displaystyle\frac{-a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\)

\(y=\displaystyle\frac{b}{a}\times \frac{-a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\)

\(=\displaystyle\frac{-b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\)

青い直線と \(a(x+x_0)+b(y+y_0)+c=0\) の交点は、

\(\left(\displaystyle\frac{-a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2},\ \displaystyle\frac{-b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\right)\)

\(d^2=\left(\displaystyle\frac{-a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{-b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\right)^2\)

\(d=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{-a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{-b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\right)^2}\)

\(=\sqrt{\displaystyle\frac{a^2(ax_0+by_0+c)^2}{(a^2+b^2)^2}+\displaystyle\frac{b^2(ax_0+by_0+c)^2}{(a^2+b^2)^2}}\)

\(=\sqrt{\displaystyle\frac{(a^2+b^2)(ax_0+by_0+c)^2}{(a^2+b^2)^2}}\)

\(=\sqrt{\displaystyle\frac{(ax_0+by_0+c)^2}{a^2+b^2}}\)

\(=\displaystyle\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

点と直線の距離(問題)

点 \(A(2\), \(3)\) と 直線 \(l\):\(y=\displaystyle\frac{2}{3}x-2\) の距離を求めなさい。

点と直線の距離(解説)

直線 \(l\):\(y=\displaystyle\frac{2}{3}x-2\) より

\(3y=2x-6\)

\(-2x+3y+6=0\)

点 \(A\) と直線 \(l\) の距離を \(d\) とすると、

\(d=\displaystyle\frac{|-2\cdot 2+3\cdot 3+6|}{\sqrt{(-2)^2+3^2}}\)

\(=\displaystyle\frac{|-4+9+6|}{\sqrt{4+9}}\)

\(=\displaystyle\frac{|11|}{\sqrt{13}}\)

\(=\displaystyle\frac{11}{\sqrt{13}}\)

\(=\displaystyle\frac{11\sqrt{13}}{13}\)

おわりに

今回は、点と直線の距離の公式を証明しました。

点と直線の距離の公式を用いた問題には他にはこんな問題があります。

さいごまで読んでいただきありがとうございました!

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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。

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