高校で習う 2 点を通る直線の方程式
中学の時に学習した\(1\) 次関数は覚えていますでしょうか?
\(a\neq 0\), \(y=ax+b\)
\(a\) は傾き、\(b\) は切片を表しています。
中学では、定数 \(a\), \(b\) を連立方程式などを用いて求めましたが、高校ではより計算スピードを上げるため別の方法で求めます。
直線の方程式の公式1
座標平面上の異なる \(2\) 点 \((x_1\), \(y_1)\), \((x_2\), \(y_2)\) を通る直線の方程式は、
\(y-y_1=\displaystyle\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\)
と表すことができる。
例題1と解説
例題1
\((1\), \(3)\), \((3\), \(6)\) を通る直線の方程式を求めなさい。
解説
\(y-3=\displaystyle\frac{6-3}{3-1}(x-1)\)
\(y=\displaystyle\frac{3}{2}(x-1)+3\)
\(=\displaystyle\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}+\frac{6}{2}\)
\(=\displaystyle\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}\)
公式1のポイント
一般的な公式です。\(\displaystyle\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) の部分により直線の傾きが
表されていることがわかりやすい公式となっています。しかし、傾きの分母 \(x_2-x_1\) の
部分が \(0\) ではないというのが公式の成立条件ですので、\(x_2-x_1=\) のとき、
すなわち \(x_2=x_1\) のときは別の式を用いる必要があります。
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直線の方程式の公式2
座標平面上の異なる \(2\) 点 \((x_1\), \(y_1)\), \((x_2\), \(y_2)\) を通る直線の方程式は、
\((y-y_1)(x_2-x_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)\)
と表すことができる。
例題2と解説
例題2
\((a\), \(3)\), \((b\), \(4)\) を通る直線の方程式を求めなさい。
解説
\((y-3)(b-a)=(4-3)(x-a)\)
\((y-3)(b-a)=x-a\)
補足)
\((i)\) \(a\neq b\) のとき、
\((y-3)(b-a)=x-a\)
\((ii)\) \(a=b\) のとき、
\(0=x-a\)
\(x=a\)
公式2のポイント
解答の \((y-3)(b-a)=x-a\) について、\(a\neq b\) のときはもちろん成り立ちますし、
\(a=b\) のときも左辺が \(0\) となり成り立ちますので、別の公式を用いる必要なく、
この式だけで完結します。
直線の方程式の公式3
座標平面上の異なる \(2\) 点 \(A(x_1\), \(y_1)\), \(B(x_2\), \(y_2)\) を通る直線の方程式は、媒介変数 \(t\) を用いて、
\((x\), \(y)=(x_1\), \(y_1)+t(x_2-x_1\), \(y_2-y_1)\)
と表すことができる。
例題3と解説
例題3
\(A(a\), \(2)\), \(B(a+b\), \(6)\) を通る直線の方程式を媒介変数を用いて表せ。
解説
\((x\), \(y)=(a+t(a+b-a)\), \(2+(6-2))\)
\((x\), \(y)=(a\), \(2)+t(b\), \(4)\)
公式3のポイント
直線上の任意の点 \((x\), \(y)\) から \(A(x_1\), \(y_1)\) までの距離を \(t\) の値を用いて
表している点が特徴です。
おわりに
以上3パターンの直線の方程式の求め方でした。
直線の方程式を用いた問題は他にもこのようなものがあります。ぜひ解いてみてください。
さいごまで読んでいただきありがとうございました!
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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。
”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。