【二次関数】『平方完成』平方完成の計算方法２選

平方完成の計算方法

今回は平方完成の計算方法を２種類紹介します。

平方完成は、２次関数の問題を解く上で必ず必要となる計算方法です。

計算がかなり複雑ですが、以下に紹介する２つのやり方のうち、自分に合うやり方を選んでくれれば良いです。

平方完成とは？

このような変形のことを平方完成と言います。

この形にできると、頂点が求められます。

頂点 $(\mathrm{♠}$,　$\mathrm{♣})$

平方完成の解き方の種類

自分に合った方法で計算できれば問題ないですが、

① はスピーディに解けますが、仕組みは理解できない。

② は仕組みは理解できますが、少し遅くなる。

という特徴があるため、理想は ② の方法をしっかりと理解し、問題を解く時は ① の方法で解く。

というのが良いと思います。

平方完成の問題

次の式の平方完成をしなさい。
(1) 　$x^2+4x-1$

(2)　$2x^2+4x+5$

解説

では、早速解説していきたいと思います！

解法①でシステマティックに解く方法、解法②で因数分解を利用して解く方法を解説していきます。

解法①　システマティックに解く

以上を踏まえると、

(1)　$x^2+4x-1$

$x^2$ の係数が $1$ の場合

　$y=x^2+4x-1$

$=(x+2{)}^2-2^2-1$
$=(x+2{)}^2-4-1$
$=(x+2{)}^2-5$

(2)　$2x^2+4x+5$

$x^2$ の係数が $1$ 以外の場合

　$2x^2+4x+5$

$x^2$ の係数で、「$\mathrm{♠}{x}^2+\mathrm{♣}x$」の部分を係数でくくる。

$=2($ $x^2+2x$$)+5$

カッコ部分に対して、(1) と同じことをする。

$=2\{(x+1{)}^2-1\}+5$
$=2(x+1{)}^2-2+5$
$=2(x+1{)}^2+3$

解法②　因数分解を利用して解く方法

$(x+\mathrm{♠}{)}^2$ の形になるように定数を調整する。

(1)　$x^2+4x-1$

$x^2$ の係数が $1$ の場合

$y=x^2+4x-1$

$y=(x^2+4x+4)-4-1$

$+4$ することで $(x+\mathrm{♠}{)}^2$ の形を作ることができる。
しかし、$+4$ するだけでなく $-4$ をして調整してるところに注意

$=(x+2{)}^2-4-1$
$=(x+2{)}^2-5$

(2)　$2x^2+4x+5$

$x^2$ の係数が $1$ 以外の場合

$2x^2+4x+5$

$x^2$ の係数で、「$\mathrm{♠}{x}^2+\mathrm{♣}x$」の部分を係数でくくる。

$=2($ $x^2+2x$$)+5$

カッコ部分に対して、(1) と同じことをする。

$=2\{(x^2+2x+1)-1\}+5$

$+1$ することで $(x+\mathrm{♠}{)}^2$ の形を作ることができる。
しかし、$+1$ するだけでなく $-1$ をして調整してるところに注意

$=2\{(x+1{)}^2-1\}+5$
$=2(x+1{)}^2-2+5$
$=2(x+1{)}^2+3$

おわりに

今回は、平方完成のやり方を２選紹介しました。

平方完成は、二次関数の問題を解くためのスタート地点としてとても重要な計算です。

何百問と解いて体に染みつけかせましょう。