メニュー
yu-to
管理者
本ブログを運営しているyu-toと申します。

高校数学の解説や公務員試験問題の解説、データサイエンスについての記事を書いていきます!

「データサイエンス×教育」に興味があり、日々勉学に励んでいます。

少しでも役に立つ情報の発信をしていきますのでぜひ読んでください。

また、同志からのお声がけはとても励みになります。ぜひ、コメントやメール、SNS等でご連絡ください!
カテゴリー
統計学初学者サポートこちらをクリック

【二次関数】『平方完成』平方完成の計算方法2選

目次

データアナリストへの道

少し数字に強い理系大学卒から駆け出しデータアナリストになるまでに、実際に読んだ50冊以上の本から厳選して、基本的な理論から実践的スキルまでを身につけられるようにデータ分析初学者向けにまとめました。>>記事を読む

平方完成の計算方法

今回は平方完成の計算方法を2種類紹介します。

平方完成は、2次関数の問題を解く上で必ず必要となる計算方法です。

計算がかなり複雑ですが、以下に紹介する2つのやり方のうち、自分に合うやり方を選んでくれれば良いです。

平方完成とは?

\(y=ax^2+bx+c\)

\(y=a(x-\spadesuit)^2+\clubsuit\)

このような変形のことを平方完成と言います。

この形にできると、頂点が求められます。

頂点 \((\spadesuit\), \(\clubsuit)\)

平方完成の解き方の種類

パターン ① システマティックに解く方法

パターン ② 仕組みを理解して解く方法(因数分解を使用する方法)

自分に合った方法で計算できれば問題ないですが、

① はスピーディに解けますが、仕組みは理解できない。

② は仕組みは理解できますが、少し遅くなる。

という特徴があるため、理想は ② の方法をしっかりと理解し、問題を解く時は ① の方法で解く。

というのが良いと思います。

平方完成の問題

次の式の平方完成をしなさい。
(1)  \(x^2+4x-1\)

(2) \(2x^2+4x+5\)

解説

では、早速解説していきたいと思います!

解法①でシステマティックに解く方法、解法②で因数分解を利用して解く方法を解説していきます。

解法① システマティックに解く

\(x^2+ax\)

\(=\left(x+\displaystyle\frac{a}{2}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{a}{2}\right)^2\)

※ \(x\) の係数 \(a\) の半分 \(\left(\times\displaystyle\frac{1}{2}\right)\)をカッコの中に入れて、その \(2\) 乗を引く。

以上を踏まえると、

(1) \(x^2+4x-1\)

\(x^2\) の係数が \(1\) の場合

 \(y=x^2+4x-1\)

\(=(x+2)^2-2^2-1\)
\(=(x+2)^2-4-1\)
\(=(x+2)^2-5\)

(2) \(2x^2+4x+5\)

\(x^2\) の係数が \(1\) 以外の場合

 \(2x^2+4x+5\)

\(x^2\) の係数で、「\(\spadesuit x^2+\clubsuit x\)」の部分を係数でくくる。

\(=2(\) \(x^2+2x\)\()+5\)

カッコ部分に対して、(1) と同じことをする。

\(=2\left\{(x+1)^2-1\right\}+5\)
\(=2(x+1)^2-2+5\)
\(=2(x+1)^2+3\)

解法② 因数分解を利用して解く方法

\((x+\spadesuit)^2\) の形になるように定数を調整する。

(1) \(x^2+4x-1\)

\(x^2\) の係数が \(1\) の場合

\(y=x^2+4x-1\)

\(y=(x^2+4x+4)-4-1\)

\(+4\) することで \((x+\spadesuit)^2\) の形を作ることができる。
しかし、\(+4\) するだけでなく \(-4\) をして調整してるところに注意

\(=(x+2)^2-4-1\)
\(=(x+2)^2-5\)

(2) \(2x^2+4x+5\)

\(x^2\) の係数が \(1\) 以外の場合

\(2x^2+4x+5\)

\(x^2\) の係数で、「\(\spadesuit x^2+\clubsuit x\)」の部分を係数でくくる。

\(=2(\) \(x^2+2x\)\()+5\)

カッコ部分に対して、(1) と同じことをする。

\(=2\left\{(x^2+2x+1)-1\right\}+5\)

\(+1\) することで \((x+\spadesuit)^2\) の形を作ることができる。
しかし、\(+1\) するだけでなく \(-1\) をして調整してるところに注意

\(=2\left\{(x+1)^2-1\right\}+5\)
\(=2(x+1)^2-2+5\)
\(=2(x+1)^2+3\)

おわりに

今回は、平方完成のやり方を2選紹介しました。

あわせて読みたい
【二次関数】平方完成の演習問題 平方完成の演習問題 LEVEL1 (1) \(x^2-4x+7\) (2) \(x^2+10x+19\) (3) \(x^2-2x+3\) (4) \(x^2-4x+4\) (5) \(x^2+8x+11\) (6) \(x^2-6x+7\) (7) \(x^2-6x\) (8)...

平方完成は、二次関数の問題を解くためのスタート地点としてとても重要な計算です。

何百問と解いて体に染みつけかせましょう。

さいごまで読んでいただきありがとうございました!

このブログは統計学を学びたい学生/社会人向けに記事を書いています。

【最新】こちらの記事がおすすめ!

>>

  • URLをコピーしました!
目次