平方完成の計算方法
今回は平方完成の計算方法を2種類紹介します。
平方完成は、2次関数の問題を解く上で必ず必要となる計算方法です。
計算がかなり複雑ですが、以下に紹介する2つのやり方のうち、自分に合うやり方を選んでくれれば良いです。
平方完成とは?
\(y=ax^2+bx+c\)
↓
\(y=a(x-\spadesuit)^2+\clubsuit\)
このような変形のことを平方完成と言います。
この形にできると、頂点が求められます。
頂点 \((\spadesuit\), \(\clubsuit)\)
平方完成の解き方の種類
パターン ① システマティックに解く方法
パターン ② 仕組みを理解して解く方法(因数分解を使用する方法)
自分に合った方法で計算できれば問題ないですが、
① はスピーディに解けますが、仕組みは理解できない。
② は仕組みは理解できますが、少し遅くなる。
という特徴があるため、理想は ② の方法をしっかりと理解し、問題を解く時は ① の方法で解く。
というのが良いと思います。
平方完成の問題
次の式の平方完成をしなさい。
(1) \(x^2+4x-1\)
(2) \(2x^2+4x+5\)
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解説
では、早速解説していきたいと思います!
解法①でシステマティックに解く方法、解法②で因数分解を利用して解く方法を解説していきます。
解法① システマティックに解く
\(x^2+ax\)
\(=\left(x+\displaystyle\frac{a}{2}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{a}{2}\right)^2\)
※ \(x\) の係数 \(a\) の半分 \(\left(\times\displaystyle\frac{1}{2}\right)\)をカッコの中に入れて、その \(2\) 乗を引く。
以上を踏まえると、
(1) \(x^2+4x-1\)
\(x^2\) の係数が \(1\) の場合
\(y=x^2+4x-1\)
\(=(x+2)^2-2^2-1\)
\(=(x+2)^2-4-1\)
\(=(x+2)^2-5\)
(2) \(2x^2+4x+5\)
\(x^2\) の係数が \(1\) 以外の場合
\(2x^2+4x+5\)
\(x^2\) の係数で、「\(\spadesuit x^2+\clubsuit x\)」の部分を係数でくくる。
\(=2(\) \(x^2+2x\)\()+5\)
カッコ部分に対して、(1) と同じことをする。
\(=2\left\{(x+1)^2-1\right\}+5\)
\(=2(x+1)^2-2+5\)
\(=2(x+1)^2+3\)
解法② 因数分解を利用して解く方法
\((x+\spadesuit)^2\) の形になるように定数を調整する。
(1) \(x^2+4x-1\)
\(x^2\) の係数が \(1\) の場合
\(y=x^2+4x-1\)
\(y=(x^2+4x+4)-4-1\)
\(+4\) することで \((x+\spadesuit)^2\) の形を作ることができる。
しかし、\(+4\) するだけでなく \(-4\) をして調整してるところに注意
\(=(x+2)^2-4-1\)
\(=(x+2)^2-5\)
(2) \(2x^2+4x+5\)
\(x^2\) の係数が \(1\) 以外の場合
\(2x^2+4x+5\)
\(x^2\) の係数で、「\(\spadesuit x^2+\clubsuit x\)」の部分を係数でくくる。
\(=2(\) \(x^2+2x\)\()+5\)
カッコ部分に対して、(1) と同じことをする。
\(=2\left\{(x^2+2x+1)-1\right\}+5\)
\(+1\) することで \((x+\spadesuit)^2\) の形を作ることができる。
しかし、\(+1\) するだけでなく \(-1\) をして調整してるところに注意
\(=2\left\{(x+1)^2-1\right\}+5\)
\(=2(x+1)^2-2+5\)
\(=2(x+1)^2+3\)
おわりに
今回は、平方完成のやり方を2選紹介しました。
平方完成は、二次関数の問題を解くためのスタート地点としてとても重要な計算です。
何百問と解いて体に染みつけかせましょう。
さいごまで読んでいただきありがとうございました!
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