メニュー
yu-to
管理者
本ブログを運営しているyu-toと申します。

高校数学の解説や公務員試験問題の解説、データサイエンスについての記事を書いていきます!

「データサイエンス×教育」に興味があり、日々勉学に励んでいます。

少しでも役に立つ情報の発信をしていきますのでぜひ読んでください。

また、同志からのお声がけはとても励みになります。ぜひ、コメントやメール、SNS等でご連絡ください!
カテゴリー
統計学初学者サポートこちらをクリック

【二次関数】『文字が2つ入った関数』文字を減らして最大・最小を求める問題

目次

データアナリストへの道

少し数字に強い理系大学卒から駆け出しデータアナリストになるまでに、実際に読んだ50冊以上の本から厳選して、基本的な理論から実践的スキルまでを身につけられるようにデータ分析初学者向けにまとめました。>>記事を読む

文字が2つ入った関数の最小値

今回は、文字が2つ入った関数の最小値の問題です。

文字(変数)が \(2\) つあると、どうすればいいのかわからなくなりそうですが、たった一つの操作をしてあげると、文字が \(1\) つになり比較的簡単に解くことができます。

文字を一つ消去し、変数を一つにする。

\(1\) つの式に複数の文字が入っていると計算しにくいので減らす作業をする必要があります。

条件に \(x+2y=3\) という式があったら、\(x=3-2y\) のように変形して与式 に代入します。そうすると、\(x\) の文字が与式からなくなって考えやすくなります!

文字が2つ入った関数の最小値(問題)

\(x+2y=3\) の時、\(2x^2+y^2\) の最小値を求めよ。

答案の例

\(x+2y=3\)

\(x=3-2y\) \(\cdots\) ※

\(2x^2+y^2=2(3-2y)^2+y^2\)

\(=2(9-12y+4y^2)+y^2\)
\(=18-24y+8y^2+y^2\)
\(=9y^2-24y+18\)
\(=9\left(y^2-\displaystyle\frac{8}{3}y \right)+18\)
\(=9\left\{\left(y-\displaystyle\frac{4}{3}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)^2\right\}+2\)
\(=9\left(y-\displaystyle\frac{4}{3}\right)^2-9\times \displaystyle\frac{16}{9}+2\)
\(=9\left(y-\displaystyle\frac{4}{3}\right)^2-16+2\)
\(=9\left(y-\displaystyle\frac{4}{3}\right)^2-14\)

よって、\(y=\displaystyle\frac{4}{3}\) の時、最小値 \(-14\)

\(y=\displaystyle\frac{4}{3}\) を ※ に代入すると、

\(x=3-2\times \displaystyle\frac{4}{3}\)

\(=3-\displaystyle\frac{8}{3}=\displaystyle\frac{1}{3}\)

したがって、\(x=\displaystyle\frac{1}{3}\), \(y=\displaystyle\frac{4}{3}\) の時、最小値 \(2\)

解説

条件を式変形する。

\(x+2y=3\)

\(x=3-2y\) \(\cdots\) ※

※ を代入すると、文字 \(x\) が消去される。

\(2x^2+y^2=2(3-2y)^2+y^2\)

\(=2(9-12y+4y^2)+y^2\)
\(=18-24y+8y^2+y^2\)
\(=9y^2-24y+18\)

平方完成をする。

\(9y^2-24y+18\)

\(=9\left(y^2-\displaystyle\frac{8}{3}y \right)+18\)
\(=9\left\{\left(y-\displaystyle\frac{4}{3}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)^2\right\}+2\)
\(=9\left(y-\displaystyle\frac{4}{3}\right)^2-9\times \displaystyle\frac{16}{9}+2\)
\(=9\left(y-\displaystyle\frac{4}{3}\right)^2-16+2\)
\(=9\left(y-\displaystyle\frac{4}{3}\right)^2-14\)

下に凸のグラフなので、

\(y=\displaystyle\frac{4}{3}\) の時、最小値 \(-14\)

\(y=\displaystyle\frac{4}{3}\) を ※ に代入すると、

\(x=3-2\times \displaystyle\frac{4}{3}\)

\(=3-\displaystyle\frac{8}{3}=\displaystyle\frac{1}{3}\)

したがって、\(x=\displaystyle\frac{1}{3}\), \(y=\displaystyle\frac{4}{3}\) の時、最小値 \(2\)

おわりに

今回は、文字が2つ入った関数の最小値の問題でした。

今回の問題が難しく感じた人はこちらの問題を見てみてください!

こちらの問題は、文字(変数)が1つのシンプルな問題になっています。

さいごまで読んでいただきありがとうございました!

このブログは統計学を学びたい学生/社会人向けに記事を書いています。

【最新】こちらの記事がおすすめ!

>>

  • URLをコピーしました!
目次