【三角関数】『最大値・最小値』三角比を2種類含んだ関数の最大値・最小値

三角関数の最大値・最小値

\(y=4\sin^2\theta-4\cos\theta+1\)

今回は\(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) を含んだ関数についての問題を解説していきます！

必要な \(2\) つの技能
①　三角比の相互関係を使える
②　二次関数の最大最小を求められる

三角関数の問題で扱う公式

二次関数の最大最小の求め方

三角関数の問題は、三角比を文字に置くことで普通の二次関数として計算する場合があります。そのため、二次関数の最大値・最小値の求め方を理解している必要があります！

三角比を2種類含んだ三角関数（問題）

\(y=4\sin^2\theta-4\cos\theta+1\) \((0\leq \theta <2\pi)\) の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの \(\theta\) の値を求めよ。

答案の例

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より \(\sin^2\theta=1-\cos^2\theta\)

与式より、

\(y=4\sin^2\theta-4\cos\theta+1\)
　\(=4(1-\cos^2\theta)-4\cos\theta+1\)
　\(=4-4\cos^2\theta-4\cos\theta+1\)
　\(=-4\cos^2 \theta-4\cos\theta+5\)

\(\cos\theta=t\) とおくと、

\(y=-4t^2-4t+5\)
　\(=-4(t^2+t)+5\)
　\(=-4\left\{\left(t+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2\right\}+5\)
　\(=-4\left(t+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2-(-4)\times\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+5\)
　\(=-4\left(t+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2-(-4)\times\displaystyle\frac{1}{4}+5\)
　\(=-4\left(t+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+1+5\)
　\(=-4\left(t+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+6\)

頂点 \(\left(-\displaystyle\frac{1}{2},\ 6\right)\)

また、\(t\) の範囲は、\(\cos\theta=t\) より \(-1\leq t \leq 1\)

よって、

\(-4\left(t+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+6\)　\((-1\leq t \leq 1)\)

の最大値・最小値を求めれば良い。

グラフより、

\(t=-\displaystyle\frac{1}{2}\) のとき、最大値 \(6\)
\(t=1\) のとき、最小値 \(-3\)

\(\cos\theta=t\) より

\(t=-\displaystyle\frac{1}{2}\) を代入すると、

\(\cos\theta=-\displaystyle\frac{1}{2}\) となり、\(0\leq\theta<2\pi\) より \(\theta=\displaystyle\frac{2}{3}\pi\)

同様にして、\(t=1\) を代入すると、

\(\cos\theta=1\) となり、\(0\leq\theta<2\pi\) より \(\theta=0\)

以上のことを踏まえると、

\(\theta=\displaystyle\frac{2}{3}\pi\) のとき、最大値 \(6\)
\(\theta=0\) のとき、最小値 \(-3\)

解説

三角比を揃える。

複数の三角比が含まれていると計算しにくいので三角比の相互関係を用いて揃える必要があります。

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より \(\sin^2\theta=1-\cos^2\theta\)

与式より

\(y=4\sin^2\theta-4\cos\theta+1\)
　\(=4(1-\cos^2\theta)-4\cos\theta+1\)
　\(=4-4\cos^2\theta-4\cos\theta+1\)
　\(=-4\cos^2 \theta-4\cos\theta+5\)

三角比を文字に置く

\(\cos\theta=t\) とおくと、\(y=-4t^2-4t+5\)

平方完成する

　\(=-4(t^2+t)+5\)
　\(=-4\left\{\left(t+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2\right\}+5\)
　\(=-4\left(t+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2-(-4)\times\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+5\)
　\(=-4\left(t+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2-(-4)\times\displaystyle\frac{1}{4}+5\)
　\(=-4\left(t+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+1+5\)
　\(=-4\left(t+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+6\)

頂点 \(\left(-\displaystyle\frac{1}{2},\ 6\right)\)

定義域を確認する

また、\(t\) の範囲は、\(\cos\theta=t\) より

\(0\leq \theta <2\pi\) は、\(-1\leq t \leq 1\) となる。

よって、

\(-4\left(t+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+6\)　\((-1\leq t \leq 1)\) の最大値・最小値を求めれば良い。

グラフを描いて、最大値・最小値を求める

グラフより、

\(t=-\displaystyle\frac{1}{2}\) のとき、最大値 \(6\)
\(t=1\) のとき、最小値 \(-3\)

置いた文字を三角比に戻す

\(\cos\theta=t\) より \(t=-\displaystyle\frac{1}{2}\) を代入すると、

\(\cos\theta=-\displaystyle\frac{1}{2}\) となり、

\(0\leq\theta<2\pi\) より (\theta=\displaystyle\frac{2}{3}\pi\)

同様にして、\(t=1\) を代入すると、

\(\cos\theta=1\) となり、

\(0\leq\theta<2\pi\) より \(\theta=0\)

以上のことを踏まえると、

\(\theta=\displaystyle\frac{2}{3}\pi\) のとき、最大値 \(6\)

\(\theta=0\) のとき、最小値 \(-3\)

おわりに

今回は三角比を2種類含んだ三角関数の最大・最小問題でした！

必要な \(2\) つの技能
①　三角比の相互関係を使える
②　二次関数の最大最小を求められる