三角比が2種類含まれた三角方程式
今回は三角比が2種類含まれた三角方程式です！
今回扱う問題
\(2\cos^2\theta+\sin\theta-1=0\)
\(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) が混在してますね… このままだと、計算することができません。そこで、ある公式を使って \(\sin\theta\) もしくは \(\cos\theta\) に揃えていきます！
では、使用する公式について確認しましょう！
三角比の相互関係
三角比の相互関係
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)
\(\tan\theta=\displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
\(\tan^2\theta+1=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}\)
\(\sin\theta\) もしくは \(\cos\theta\) に揃うように三角比の相互関係を駆使して式変形をしましょう。
三角比が2種類含まれた三角方程式の解法手順
STEP１ 三角比を揃える
STEP２ 三角比を文字に置く
STEP３ 二次方程式を解く
STEP４ 文字を三角比に戻す
STEP５ 三角一次方程式を解く
「STEP 1 三角比を揃える」について
三角比を揃える方法は3パターンあります。詳しく知りたい方はこちらをチェック
三角比が2種類含んだ三角方程式（問題）
\(0\leq\theta \leq 2\pi\) のとき、次の方程式を解け。
\(2\cos^2\theta+\sin\theta-1=0\)
＞＞詳細はこちらから
答案の例
\(2\cos^2\theta+\sin\theta-1=0\)
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より
\(2(1-\sin^2\theta)+\sin\theta-1=0\)
\(2-2\sin^2\theta+\sin\theta-1=0\)
\(-2\sin^2\theta+\sin\theta+1=0\)
\(\sin\theta=t\) とおくと、
\(-2t^2+t+1=0\)
\((2t+1)(-t+1)=0\)
\(t=-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(1\)
\(\sin\theta=-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(1\)
① \(\sin\theta=-\displaystyle\frac{1}{2}\) \((0\leq \theta\leq 2\pi)\)
\(\theta=210^\circ\), \(330^\circ\)
よって、\(\theta=\displaystyle\frac{7}{6}\pi\), \(\displaystyle\frac{11}{6}\pi\)
② \(\sin\theta=1\) \((0\leq \theta\leq 2\pi)\)
\(\theta=90^\circ\)
よって、\(\theta=\displaystyle\frac{1}{2}\pi\)
したがって、\(\theta=\displaystyle\frac{1}{2}\pi\), \(\displaystyle\frac{7}{6}\pi\), \(\displaystyle\frac{11}{6}\pi\)
解説
STEP１ 三角比を揃える
\(2\cos^2\theta+\sin\theta-1=0\)
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より
\(\cos^2\theta=1-\sin^2\theta\)
よって、
\(2(1-\sin^2\theta)+\sin\theta-1=0\)
\(2-2\sin^2\theta+\sin\theta-1=0\)
\(-2\sin^2\theta+\sin\theta+1=0\)
STEP２ 三角比を文字に置く
\(\sin\theta=t\) とおくと、\(-2t^2+t+1=0\)
STEP３ 二次方程式を解く
\(-2t^2+t+1=0\)
\((2t+1)(-t+1)=0\)
\(t=-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(1\)
STEP４ 文字を三角比に戻す
\(\sin\theta=-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(1\)
また、\(0\leq \theta\leq 2\pi\)
STEP５ 三角一次方程式を解く
① \(\sin\theta=-\displaystyle\frac{1}{2}\) \((0\leq \theta\leq 2\pi)\)
\(\theta=210^\circ\), \(330^\circ\)
よって、\(\theta=\displaystyle\frac{7}{6}\pi\), \(\displaystyle\frac{11}{6}\pi\)
② \(\sin\theta=1\) \((0\leq \theta\leq 2\pi)\)
\(\theta=90^\circ\)
よって、\(\theta=\displaystyle\frac{1}{2}\pi\)
したがって、\(\theta=\displaystyle\frac{1}{2}\pi\), \(\displaystyle\frac{7}{6}\pi\), \(\displaystyle\frac{11}{6}\pi\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
- 公務員試験の数学で困っている方
- 統計学（統計検定）の勉強で困っている方
個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
ご連絡お待ちしております。
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