今回は、順列と組合せの違い解説していきます。
順列と組合せといえば、場合の数や確率を解く上で欠かせない単元ですね！
それぞれこんな感じの計算をしますね。
順列 ：\({}_5P_2=5\times 4=20\)
組合せ：\({}_5C_2=\displaystyle\frac{{}_5P_2}{2!}=\frac{20}{2}=10\)
まだ計算の詳細はわからなくても大丈夫です。それぞれ、
順列 ：P（Permutation）
組合せ：C（Combination）
の部分が違いますね。
この２つの公式を見てもなかなか違いに気づけないものです。
今回は、イメージで違いを掴む方法と簡単な例に当てはめて違いを掴む方法の２つの方法を使って説明していこうと思います！
実際に問題を解きたい方は以下の記事をチェック！
順列
異なる \(n\) 個のものの中から異なる \(r\) 個を選んで並べる。
その時の順列の総数は、
\({}_nP_r=n\times (n-1)\times (n-2)\cdots (n-r+1)\)
例）
\({}_5P_3=5\times 4\times 3=60\)
\({}_6P_2=6\times 5=30\)
組合せ
異なる \(n\) 個のものの中から異なる \(r\) 個を選んで並べない。（選ぶだけ）
その時の組合せの総数は、
\({}_nC_r=\displaystyle\frac{n\times (n-1)\times (n-2) \cdots (n-r+1)}{r!}\)
\(=\displaystyle\frac{{}_nP_r}{r!}\)
例）
\({}_4C_2=\displaystyle\frac{{}_4P_2}{2!}=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6\)
\({}_6C_3=\displaystyle\frac{{}_6P_3}{3!}=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20\)
＞＞詳細はこちらから
では、順列と組合せの違いはどんなところにあるのでしょうか？
『イメージで掴む違い』と、『公式から掴む違い』を書いていこうと思います。
順列
このように、複数人を選んだ上でそれぞれに役割を振る場合には、順列の考え方を使用します。
こちらの方が、より具体的に個人の役割が指定されています。
組合せ
このように、複数人を選んではいるが、\(3\) 人で同じものを運ぶため、役割には区別がないような場合は、組合せの考え方を使用します。
※ ノートの運ぶ冊数や重さが異なるというように、区別されるような事象は便宜上考えないものとします。
先程の順列と違い、こちらは人を選ぶだけでいいので、そこまで限定的な考え方ではありませんね。
イメージで掴む違いでも示したように、選んだ後に「並べる」か「並べない」かが大きな違いです。
先程の例で言うならば、具体的に誰が何を運ぶのかを指定するか指定しないかです。
実際に例題を解きながら違いを見てみましょう。
例題）\(4\) 個の中から、\(2\) 個を選ぶ場合
① 選んだ後に並べる
② 選んだ後に並べない
この２つのパターンを考える。
順列
選んだ後に並べる。
\({}_4P_2=4\times 3=12\)
実際に選んで並べてみると、\(4\) 個のものを、\(A\), \(B\), \(C\), \(D\) とすると、
実際に並べてみても、\(12\) 通りになることがわかります。
組合せ
選んだ後に並べない。（選ぶだけ）
\({}_4C_2=\displaystyle\frac{{}_4P_2}{2!}=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6\)
まずは、順列のように \(12\) 通り並べてみる。
今回は、選んだ後に並べないので下半分は考えなくても良い。
このことを式に落とし込むと、
\({}_4C_2=\displaystyle\frac{{}_4P_2}{2!}=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6\)
順列のように \({}_4P_2\) 通り並べて、\(2!\)（選んだ個数の並び方）で割る。
今回は、順列と組合せの違いを解説してきました。
イメージと公式の違い両方を理解しておくと良いでしょう。
質問や感想はコメントへ！
コメント一覧 （1件）
[…] 順列と組合せの違いを解説！イメージによる解説と公式から読み解く解説 […]