(二次不等式) \(>0\)
今回の問題は、(二次不等式) \(>0\) が成り立つような定数 \(k\) を求める問題です。
二次不等式と二次関数は深く関わっていますが、関わりをイメージするのが難しいかもしれません。関数の形にしてグラフをイメージしながら解くことが重要です！
二次関数、二次方程式、二次不等式など似ている言葉の違いを明確にしておきましょう！
二次関数：\(y=ax^2+bx+c\)
二次方程式：\(ax^2+bx+c=0\) （二次関数の \(y\) に具体的な値が入った形が二次方程式）
二次不等式：\(ax^2+bx+c>0\)
判別式
判別式
\(2\) 次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の判別式を \(D\) とすると、
\(D=b^2-4ac>0\) \(\longrightarrow\) 実数解は \(2\) コ
\(D=b^2-4ac=0\) \(\longrightarrow\) 実数解は \(1\) コ
\(D=b^2-4ac<0\) \(\longrightarrow\) 実数解は \(0\) コ
判別式の仕組みについては↓こちらを確認してみてください。
「すべての \(x\) で \(f(x)>0\) となる。」とは？
「グラフ \(f(x)\) がすべての \(x\) に対して \(f(x)>0\) となる」
ということを図でイメージする必要があります。
図でのイメージ
( i )
このような図だと \(f(x)<0\) となる \(x\) が存在してしまうので、不適
\(f(x)<0\) となる部分が存在しないようにするには、
( ii )
となっている必要があります。このように、
\(f(x)>0\) や \(f(x)<0\) はグラフの位置と深く関わっています。
二次不等式の問題
全ての実数 \(x\) に対して、\(2\) 次不等式 \(x^2+(k+3)x-k>0\)が成り立つような定数 \(k\) の範囲を求めよ。
答案の例
\(x^2+(k+3)x-k=0\) の判別式を \(D\) とおくと、
\(D=(k+3)^2+4k>0\)
\(=k^2+6k+9+4k>0\)
\(=k^2+10k+9>0\)
\(=(k+9)(k+1)>0\)
\(k<-9\), \(-1<k\)
解説
「全ての実数 \(x\) に対して、」とあるので、図のように、完全に \(x\) 軸よりも上にグラフが配置されていなければいけない。
判別式を使う。
図のように表される時、解は \(0\) コなので、\(D<0\) となる。
\(x^2+(k+3)x-k=0\) の判別式を \(D\) とおくと、
\(D=(k+3)^2+4k<0\)
\(=k^2+6k+9+4k<0\)
\(=k^2+10k+9<0\)
\(=(k+9)(k+1)<0\)
\(-9<k<-1\)
おわりに
今回は、(二次不等式) \(>0\)が成り立つような定数 \(k\) を求める問題でした。
二次不等式と二次関数の関係性をは、グラフを描くことによってイメージしやすくなります！
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
- 公務員試験の数学で困っている方
- 統計学（統計検定）の勉強で困っている方
個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
ご連絡お待ちしております。
質問や感想はコメントへ！