直線の方程式
今回は直線の方程式を求める問題です！
直線は中学校の時にも扱った内容です。
中学復習
例題）点 \((2\), \(3)\) を通り、傾き \(3\) の直線の方程式を求めなさい。
\(y=ax+b\) より傾きが \(3\) なので、\(y=3x+b\)
点 \((2\), \(3)\) を通るので、
\(3=3\times 2+b\)
\(3=6+b\)
\(b=-3\)
よって、\(y=3x-3\)
これが中学までのやり方です。しかし、この方法だと途中式が多く時間がかかりすぎます。そこで、高校数学では同じ問題をよりスムーズに解く方法を学びます。
↓高校で習う直線の方程式の求め方
直線の方程式の公式
点 \((x_1\), \(y_1)\) を通り、傾き \(m\) の直線の方程式は、
\(y-y_1=m(x-x_1)\), \(m=\displaystyle\frac{yの増加量}{xの増加量}\)
条件は中学の時と同じですが、条件を一気に当てはめて解くことにより解くスピードが上がります。高校数学はスピードが大切なので、「中学の時のやり方でいいや〜」ではなくて、しっかりとこっちのやり方に慣れましょう！
直線の方程式を求めるために必要な条件
( i ) 通る点 \(2\) つ
( ii ) 通る点 \(1\) つと傾き
( iii ) 傾きと切片
問題文を見て、どのパターンに当てはまるのかを考えましょう。これらの条件が与えられていない時でも、これらの条件を導くところから始まります。
直線の方程式（問題）
\(2\) 直線 \(x+y-4=0\) \(\cdots\) ①, \(2x-y+1\) \(\cdots\)② の交点を通り、点 \((-1\), \(2)\) を通る直線の方程式を求めよ。
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答案の例
\(\begin{cases}x+y-4=0\cdots (i)\\ 2x-y+1=0 \cdots (ii)\end{cases}\)
\((i)+(ii)\) より
\(3x-3=0\)
\(x=1\)
\((i)\) に代入
\(1+y-4=0\)
\(y=3\)
交点 \((1\), \(3)\)
よって、\((1\), \(3)\) と \((-1\), \(2)\) を通ることがわかったので、\(y-3=\displaystyle\frac{3-2}{1-(-1)}(x-1)\)
したがって、
\(y-3=\displaystyle\frac{1}{2}(x-1)\)
\(y-3=\displaystyle\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\)
\(y=\displaystyle\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+3\)
\(y=\displaystyle\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+\frac{6}{2}\)
\(y=\displaystyle\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\)
解説
STEP1 \(2\) 直線の交点を求める。
\(\begin{cases}x+y-4=0\cdots (i)\\ 2x-y+1=0 \cdots (ii)\end{cases}\)
\((i)+(ii)\) より
\(3x-3=0\)
\(x=1\)
\((i)\) に代入
\(1+y-4=0\)
\(y=3\)
よって、交点は \((1\), \(3)\)
STEP2 条件より直線の方程式を求める
上記で求めた交点 \((1\), \(3)\) と問いにある点 \((-1\), \(2)\) を通ることがわかったので、このことから傾きを求める。
\(傾き=\displaystyle\frac{3-2}{1-(-1)}=\displaystyle\frac{1}{2}\)
よって、点 \((1\), \(3)\) を通り、傾き \(\displaystyle\frac{1}{2}\) の直線の方程式を求めれば良い。
\(y-3=\displaystyle\frac{1}{2}(x-1)\)
\(y-3=\displaystyle\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\)
\(y=\displaystyle\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+3\)
\(y=\displaystyle\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+\frac{6}{2}\)\(y=\displaystyle\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\)
おわりに
さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました！
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