【図形と方程式】直線の方程式｜定点と傾きから求める

直線の方程式

今回は直線の方程式を求める問題です！

直線は中学校の時にも扱った内容です。

これが中学までのやり方です。しかし、この方法だと途中式が多く時間がかかりすぎます。そこで、高校数学では同じ問題をよりスムーズに解く方法を学びます。

↓高校で習う直線の方程式の求め方

条件は中学の時と同じですが、条件を一気に当てはめて解くことにより解くスピードが上がります。高校数学はスピードが大切なので、「中学の時のやり方でいいや〜」ではなくて、しっかりとこっちのやり方に慣れましょう！

問題文を見て、どのパターンに当てはまるのかを考えましょう。これらの条件が与えられていない時でも、これらの条件を導くところから始まります。

直線の方程式（問題）

\(2\) 直線 \(x+y-4=0\) \(\cdots\) ①,　\(2x-y+1\) \(\cdots\)② の交点を通り、点 \((-1\),　\(2)\) を通る直線の方程式を求めよ。

答案の例

\(\begin{cases}x+y-4=0\cdots (i)\\ 2x-y+1=0 \cdots (ii)\end{cases}\)

\((i)+(ii)\) より

　\(3x-3=0\)
　\(x=1\)

\((i)\) に代入

　\(1+y-4=0\)
　\(y=3\)

交点 \((1\),　\(3)\)

よって、\((1\),　\(3)\) と \((-1\),　\(2)\) を通ることがわかったので、\(y-3=\displaystyle\frac{3-2}{1-(-1)}(x-1)\)

したがって、

\(y-3=\displaystyle\frac{1}{2}(x-1)\)
\(y-3=\displaystyle\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\)
\(y=\displaystyle\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+3\)
\(y=\displaystyle\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+\frac{6}{2}\)
\(y=\displaystyle\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\)

解説

STEP1 \(2\) 直線の交点を求める。

\(\begin{cases}x+y-4=0\cdots (i)\\ 2x-y+1=0 \cdots (ii)\end{cases}\)

\((i)+(ii)\) より

　\(3x-3=0\)
　\(x=1\)

\((i)\) に代入

　\(1+y-4=0\)
　\(y=3\)

よって、交点は \((1\),　\(3)\)

STEP2 条件より直線の方程式を求める

上記で求めた交点 \((1\),　\(3)\) と問いにある点 \((-1\),　\(2)\) を通ることがわかったので、このことから傾きを求める。

　\(傾き=\displaystyle\frac{3-2}{1-(-1)}=\displaystyle\frac{1}{2}\)

よって、点 \((1\),　\(3)\) を通り、傾き \(\displaystyle\frac{1}{2}\) の直線の方程式を求めれば良い。

\(y-3=\displaystyle\frac{1}{2}(x-1)\)
\(y-3=\displaystyle\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\)
\(y=\displaystyle\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+3\)
\(y=\displaystyle\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+\frac{6}{2}\)\(y=\displaystyle\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\)

おわりに