二次関数の決定
今回は、二次関数の式を作る問題です。
二次関数の式を作る問題は、条件によって使用する公式が異なるので、慣れるまでは使用する公式の判別が少し難しいかもしれません。
慣れるまでは大変だけど根気強く頑張りましょう〜！
２次関数の一般形
一般形 ① \(y=ax^2+bx+c\)
一般形 ② \(y=a(x-p)^2+q\)
問いの条件をしっかりと見極めて２つの公式を使い分けましょう。
二次関数の式を作成する公式の判別
通る点が複数個わかっている場合は、一般形 ①
頂点について説明がある場合は、一般形 ②
二次関数の決定の問題
\(2\) 次関数のグラフの頂点が \(x\) 軸上にあって、\(2\) 点 \((0\), \(4)\), \((-4\), \(36)\) を通る \(2\) 次関数を求めよ。
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答案の例
\(x\) 軸上に頂点があるので、頂点の \(y\) 座標は \(y=0\) となる。
よって、\(y=a(x-p)^2+0\)
点 \((0\), \(4)\) を通るので、\(4=a(0-p)^2\)
\(4=ap^2\) \(\cdots\) ①
点 \((-4\), \(36)\) を通るので、\(36=a(-4-p)^2\)
\(36=a(16+8p+p^2)\)
\(36=ap^2+8ap+16a\) \(\cdots\) ②
① \(\times 9\) より \(36=9ap^2\) \(\cdots\) ①’
①’＝②
\(9ap^2=ap^2+8ap+16a\)
\(8ap^2-8ap-16a=0\)
\(p^2-p-2=0\)
\((p-2)(p+1)=0\)
\(p=2\), \(-1\)
( i ) \(p=2\) の時
①より \(4=4a\)
\(a=1\)
( ii ) \(p=-1\) の時
①より \(a=4\)
したがって、\(y=4(x+1)^2\), \(y=(x-2)^2\)
解説
\(x\) 軸上に頂点があるので、頂点の \(y\) 座標は \(y=0\) となる。
よって、\(y=a(x-p)^2+0\)
通る点は、\(x\) と \(y\) に代入する。
点 \((0\), \(4)\) を通るので、\(4=a(0-p)^2\)
\(4=ap^2\) \(\cdots\) ①
点 \((-4\), \(36)\) を通るので、\(36=a(-4-p)^2\)
\(36=a(16+8p+p^2)\)
\(36=ap^2+8ap+16a\) \(\cdots\) ②
\(\begin{cases} 4=ap^2\\ 36=ap^2+8ap+16a \end{cases}\)
① \(\times 9\) より \(36=9ap^2\) \(\cdots\) ①’
①’＝②
\(9ap^2=ap^2+8ap+16a\)
\(8ap^2-8ap-16a=0\)
\(p^2-p-2=0\)
\((p-2)(p+1)=0\)
\(p=2\), \(-1\)
( i ) \(p=2\) の時
①より \(4=4a\)
\(a=1\)
( ii ) \(p=-1\) の時
①より \(a=4\)
したがって、
\(y=4(x+1)^2\), \(y=(x-2)^2\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
- 公務員試験の数学で困っている方
- 統計学（統計検定）の勉強で困っている方
個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
ご連絡お待ちしております。
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