二次関数の決定
今回は、二次関数の式を作る問題です。
二次関数の式を作る問題は、条件によって使用する公式が異なるので、慣れるまでは使用する公式の判別が少し難しいかもしれません。
慣れるまでは大変だけど根気強く頑張りましょう〜！
２次関数の一般形
一般形 ① \(y=ax^2+bx+c\)
一般形 ② \(y=a(x-p)^2+q\)
問いの条件をしっかりと見極めて２つの公式を使い分けましょう。
二次関数の式を作成する公式の判別
通る点が複数個わかっている場合は、一般形 ①
頂点について説明がある場合は、一般形 ②
二次関数の決定の問題
\(2\) 次関数のグラフの頂点が \(x\) 軸上にあって、\(2\) 点 \((0\), \(4)\), \((-4\), \(36)\) を通る \(2\) 次関数を求めよ。
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答案の例
\(x\) 軸上に頂点があるので、頂点の \(y\) 座標は \(y=0\) となる。
よって、\(y=a(x-p)^2+0\)
点 \((0\), \(4)\) を通るので、\(4=a(0-p)^2\)
\(4=ap^2\) \(\cdots\) ①
点 \((-4\), \(36)\) を通るので、\(36=a(-4-p)^2\)
\(36=a(16+8p+p^2)\)
\(36=ap^2+8ap+16a\) \(\cdots\) ②
① \(\times 9\) より \(36=9ap^2\) \(\cdots\) ①’
①’＝②
\(9ap^2=ap^2+8ap+16a\)
\(8ap^2-8ap-16a=0\)
\(p^2-p-2=0\)
\((p-2)(p+1)=0\)
\(p=2\), \(-1\)
( i ) \(p=2\) の時
①より \(4=4a\)
\(a=1\)
( ii ) \(p=-1\) の時
①より \(a=4\)
したがって、\(y=4(x+1)^2\), \(y=(x-2)^2\)
解説
\(x\) 軸上に頂点があるので、頂点の \(y\) 座標は \(y=0\) となる。
よって、\(y=a(x-p)^2+0\)
通る点は、\(x\) と \(y\) に代入する。
点 \((0\), \(4)\) を通るので、\(4=a(0-p)^2\)
\(4=ap^2\) \(\cdots\) ①
点 \((-4\), \(36)\) を通るので、\(36=a(-4-p)^2\)
\(36=a(16+8p+p^2)\)
\(36=ap^2+8ap+16a\) \(\cdots\) ②
\(\begin{cases} 4=ap^2\\ 36=ap^2+8ap+16a \end{cases}\)
① \(\times 9\) より \(36=9ap^2\) \(\cdots\) ①’
①’＝②
\(9ap^2=ap^2+8ap+16a\)
\(8ap^2-8ap-16a=0\)
\(p^2-p-2=0\)
\((p-2)(p+1)=0\)
\(p=2\), \(-1\)
( i ) \(p=2\) の時
①より \(4=4a\)
\(a=1\)
( ii ) \(p=-1\) の時
①より \(a=4\)
したがって、
\(y=4(x+1)^2\), \(y=(x-2)^2\)
おわりに
さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました！
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