(二次不等式) \(>0\)
今回の問題は、(二次不等式) \(>0\) が成り立つような定数 \(k\) を求める問題です。
二次不等式と二次関数は深く関わっていますが、関わりをイメージするのが難しいかもしれません。関数の形にしてグラフをイメージしながら解くことが重要です！
二次関数、二次方程式、二次不等式など似ている言葉の違いを明確にしておきましょう！
二次関数：\(y=ax^2+bx+c\)
二次方程式：\(ax^2+bx+c=0\) （二次関数の \(y\) に具体的な値が入った形が二次方程式）
二次不等式：\(ax^2+bx+c>0\)
判別式
判別式
\(2\) 次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の判別式を \(D\) とすると、
\(D=b^2-4ac>0\) \(\longrightarrow\) 実数解は \(2\) コ
\(D=b^2-4ac=0\) \(\longrightarrow\) 実数解は \(1\) コ
\(D=b^2-4ac<0\) \(\longrightarrow\) 実数解は \(0\) コ
判別式の仕組みについては↓こちらを確認してみてください。
「すべての \(x\) で \(f(x)>0\) となる。」とは？
「グラフ \(f(x)\) がすべての \(x\) に対して \(f(x)>0\) となる」
ということを図でイメージする必要があります。
図でのイメージ
( i )
このような図だと \(f(x)<0\) となる \(x\) が存在してしまうので、不適
\(f(x)<0\) となる部分が存在しないようにするには、
( ii )
となっている必要があります。このように、
\(f(x)>0\) や \(f(x)<0\) はグラフの位置と深く関わっています。
二次不等式の問題
全ての実数 \(x\) に対して、\(2\) 次不等式 \(x^2+(k+3)x-k>0\)が成り立つような定数 \(k\) の範囲を求めよ。
答案の例
\(x^2+(k+3)x-k=0\) の判別式を \(D\) とおくと、
\(D=(k+3)^2+4k>0\)
\(=k^2+6k+9+4k>0\)
\(=k^2+10k+9>0\)
\(=(k+9)(k+1)>0\)
\(k<-9\), \(-1<k\)
解説
「全ての実数 \(x\) に対して、」とあるので、図のように、完全に \(x\) 軸よりも上にグラフが配置されていなければいけない。
判別式を使う。
図のように表される時、解は \(0\) コなので、\(D<0\) となる。
\(x^2+(k+3)x-k=0\) の判別式を \(D\) とおくと、
\(D=(k+3)^2+4k<0\)
\(=k^2+6k+9+4k<0\)
\(=k^2+10k+9<0\)
\(=(k+9)(k+1)<0\)
\(-9<k<-1\)
おわりに
今回は、(二次不等式) \(>0\)が成り立つような定数 \(k\) を求める問題でした。
二次不等式と二次関数の関係性をは、グラフを描くことによってイメージしやすくなります！
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている学生の方
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