場合分けのある二次関数の最大・最小
今回は、場合分けのある二次関数の最大・最小の問題です。
場合分けのある二次関数の問題は大きく２パターンあります。
① \(y=(x-a)^2+3\) のように頂点に \(a\) が含まれている
② \(y=(x-2)^2+3\) \((0\leq x \leq )\) のように定義域に \(a\) が含まれている
今回は①について解説していきますが、どちらも \(a\) の値によって、最大値・最小値が異なる場合があるため、場合分けが必要になります。文字が含まれていても、関数の最大・最小問題は、とにかく丁寧にグラフを描くことがポイントです！
場合分けのある二次関数の最大・最小の問題
\(a\) は正の定数とし、\(2\) 次関数 \(f(x)=x^2-2ax+2a\) \((0\leq x\leq 2)\) の最小値を \(m(a)\) とする。この時、\(m(a)\) の最大値とその時の \(a\) の値を求めよ。
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答案の例
\(f(x)=x^2-2ax+2a\)
\(=(x-a)^2-a^2+2a\)
頂点 \((a\), \(-a^2+2a)\)
[1] \(0\leq a\leq 2\) の時
頂点の \(x\) 座標が定義域内にある。よって、\(x=a\) で最小値 \(-a^2+2a\)
[2] \(a\geq 2\) の時
頂点の \(x\) 座標が右外にある。よって、\(x=2\) で最小値 \(-2a+4\)
[1], [2]より、
\(m(a)=\begin{cases} -a^2+2a\ (0\leq a\leq 2)\\ -2a+4\ (a\geq 2) \end{cases}\)
\(m(a)=-(a-1)^2+1\)
よって、頂点 \((1\), \(1)\)
以上のことより、
\(m(a)=a^2+2a\) \((0\leq a\leq 2)\)
\(m(a)=-2a+4\) \((a\geq 2)\)
グラフより \(a=1\) の時、最大値 \(1\)
解説
\(f(x)=x^2-2ax+2a\)
\(=(x-a)^2-a^2+2a\)
頂点 \((a\), \(-a^2+2a)\)
[1] \(0\leq a\leq 2\) の時
頂点の \(x\) 座標が定義域内にある。よって、\(x=a\) で最小値 \(-a^2+2a\)
※ 頂点が定まってないので、軸は描く必要はない。
[2] \(a\geq 2\) の時
頂点の \(x\) 座標が右外にある。よって、\(x=2\) で最小値 \(-2a+4\)
場合分けが苦手な方
範囲が設けられている 2 次関数の最小値問題は、
頂点が範囲の左外、内、右外それぞれに位置する時の場合を考えてみよう。
※ 今回の問題は、\(a\) が正の定数なので左外（負）の場合は考えなくても良い。
[1], [2]より、
\(m(a)=\begin{cases} -a^2+2a\ (0\leq a\leq 2)\\ -2a+4\ (a\geq 2) \end{cases}\)
※ 横軸が \(a\) になることに注意
\(m(a)=-(a-1)^2+1\)
よって、頂点 \((1\), \(1)\)
以上のことより、
\(m(a)=a^2+2a\) \((0\leq a\leq 2)\)
\(m(a)=-2a+4\) \((a\geq 2)\)
グラフより \(a=1\) の時、最大値 \(1\)
おわりに
今回は、場合分けのある二次関数の最大・最小の問題でした。
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
- 公務員試験の数学で困っている方
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個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
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