二次不等式の解き方
二次不等式とは、以下の例のような形の式です。
例）
① \(x^2+3x+2>0\)
② \(x^2+4x<0\)
グラフを描いて二次不等式を解く
\(ax^2+bx+c=0\) の解を \(x=\alpha\), \(\beta\) とする。このとき、
\(ax^2+bx+c>0\)
グラフより、\(x<\alpha\), \(\beta<x\)
\(ax^2+bx+c<0\)
グラフより、\(\alpha<x<\beta\)
例題）
① \(x^2+3x+2>0\)
\(x^2+3x+2=(x+2)(x+1)>0\)
グラフより、\(x<-2\), \(-1<x\)
② \(x^2+4x<0\)
\(x(x+4)<0\)
グラフより、\(-4<x<0\)
因数分解を用いて二次不等式を解く
\(a<b\) とすると、
\((x-a)(x-b)>0\) → \(x<a\), \(b<x\)
\((x-a)(x-b)<0\) → \(a<x<b\)
例題）
① \(x^2+3x+2>0\)
\(x^2+3x+2=(x+2)(x+1)>0\)
\(x<-2\), \(-1<x\)
② \(x^2+4x<0\)
\(x(x+4)<0\)
\(-4<x<0\)
少し難しい二次不等式の問題
解の公式が必要な二次不等式
例題）\(x^2-6x+7\leq 0\)
\(x^2-6x+7=0\)を解くと、\(x=3\pm\sqrt{2}\) となるので、
\(3-\sqrt{2}<x<3+\sqrt{2}\)
解が存在しない二次不等式
例題）\(x^2+2x+4\leq 0\)
これまでの問題と違う部分
\(x^2+2x+4=0\) にしてみると、これを満たす解が存在しないことがわかります。
判別式 \(D\) を計算してみると、\(D=4-16=-12\) となり、実数解を持たないことがわかります。
グラフを描いてみると、
\(x^2+2x+4=(x+1)^2+3\) となるので、下図のようになります。
よって、すべての実数 \(x\) で \(x^2+2x+4\) が \(0\) 以上になることがわかります。
まとめ
二次不等式は、
① 因数分解することにより解く
② グラフを描くことにより解く
この２つの方法を駆使しながら解くと良いでしょう。しかし、①のように必ずしも因数分解ができるわけではありませんので、②のようにグラフを描く方法もできるようにしておきましょう。記事の内容でよくわからないところがありましたら、下記のお問い合わせフォームよりご連絡ください。
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私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
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