【組合せ】『「YOKOHAMA」を並べる』文字を並べる問題

文字列の場合の数

今回は、文字列を題材にした組合せの問題です。

組合せの問題の中で、\(YOKOHAMA\),　\(TOUHOKU\) のように文字列の並び方を題材にしたものは頻出となっています。

今回は、\(YOKOHAMA\) という文字列を扱いますが、\(O\) や \(A\) が複数個ありますね。そこをどう処理していくかがポイントになります。

順列と組合せの違いを明確化できていないと、応用問題に対応することが少し難しくなります。不安な方はまずこちらをチェックしてみてください。

文字列の場合の数（問題）

\(YOKOHAMA\) の \(8\) 文字を横 \(1\) 列に並べて順列を作るとき、次の数を求めよ。

(1)　順列の総数
(2)　\(AA\) と \(OO\) という並びをともに含む順列の数
(3)　\(Y\),　\(K\),　\(H\),　\(M\) がこの順に並ぶ順列の数

文字列の場合の数（答案の例）

(1)　順列の総数

\(\displaystyle\frac{8!}{2!2!}=\frac{40320}{4}=10080\)

(別解)
\({}_8C_2\times {}_6C_2\times 4!=10080\)

(2)　\(AA\) と \(OO\) という並びをともに含む順列の数

\(6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720\)

(3)　\(Y\),　\(K\),　\(H\),　\(M\) がこの順に並ぶ順列の数

\({}_8C_4\times {}_4C_2\times {}_2C_2=420\)

文字列の場合の数（解説）

(1)　「順列の総数」

まず、全て違う文字だとして考えてみると、

\(Y\),　\(K\),　\(H\),　\(M\),　\(O_1\),　\(O_2\),　\(A_1\),　\(A_2\)

となりますね。

\(8\) 個の文字の順列なので、\(8!=8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=40320\)

となりますが、実際は \(O_1\) と \(O_2\),　\(A_1\) と \(A_2\) は同じ文字なので区別するのはおかしいのです。

例えば、

\(Y\),　\(O_2\),　\(K\),　\(O_1\),　\(H\),　\(A_1\),　\(M\),　\(A_2\)

と

\(Y\),　\(O_1\),　\(K\),　\(O_2\),　\(H\),　\(A_1\),　\(M\),　\(A_2\)

のように、\(O_1\) と \(O_2\) の位置を逆にしてみても、\(2\) つは同じ \(YOKOHAMA\) ですよね。

よって、この区別して数えている分を削り、\(\displaystyle\frac{8!}{2!}=\frac{40320}{2}=20160\) となります。

また、 \(A_1\),　\(A_2\) にも同様のことが言えるので、\(\displaystyle\frac{8!}{2!2!}=\frac{{}_8P_2}{2!2!}=\frac{40320}{4}=10080\) となるのです。

理解しやすい方で解きましょう。

(2)　「\(AA\) と \(OO\) という並びをともに含む順列の数」

\(AA\) をまとめて \(A’\),　\(OO\) をまとめて \(O’\) で表すと、

となりますね。まず、\(A’\),　\(O’\),　\(Y\),　\(K\),　\(H\),　\(M\) の並び方を求めてみると、

\(6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720\)

となります。

本来であれば、このあと隣り合った \(A\) と \(A\) 、 \(O\) と \(O\) の入れ替えを考えるのですが、今回はお分かりの通り、入れ替えても \(AA\) と \(OO\) になりますね。よって、別パターンとして入れ替えの場合を考える必要がないため、\(720\) がそのまま答えとなります。

(3)　「\(Y\),　\(K\),　\(H\),　\(M\) がこの順に並ぶ順列の数」

この問題を解くポイントは、\(Y\),　\(K\),　\(H\),　\(M\) が入るべきところをいったん空白にして考えるということです。

今回は、\(Y\),　\(K\),　\(H\),　\(M\) を \(X\) という仮の文字で置いてみます。そうすると、以下の図にようなイメージになります。

つまり、 \(X\) \(4\) 個、 \(O\) \(2\) 個、 \(A\) \(2\) 個を先に並べ、並べ終わった後で \(X\) の部分に左から \(Y\),　\(K\),　\(H\),　\(M\) を当てはめていくのです。

よって、\(X\) \(4\) 個に \(O\) \(2\) 個, \(A\) \(2\) 個の並び方の総数を計算すれば良いので、

\({}_8C_4\times {}_4C_2\times {}_2C_2=420\)

となります。

おわりに

今回は、文字列を題材にした組合せの問題でした。