【二次関数】『平方完成』平方完成の計算方法２選

平方完成の計算方法

今回は平方完成の計算方法を２種類紹介します。

平方完成は、２次関数の問題を解く上で必ず必要となる計算方法です。

計算がかなり複雑ですが、以下に紹介する２つのやり方のうち、自分に合うやり方を選んでくれれば良いです。

平方完成とは？

このような変形のことを平方完成と言います。

この形にできると、頂点が求められます。

頂点 \((\spadesuit\),　\(\clubsuit)\)

平方完成の解き方の種類

自分に合った方法で計算できれば問題ないですが、

① はスピーディに解けますが、仕組みは理解できない。

② は仕組みは理解できますが、少し遅くなる。

という特徴があるため、理想は ② の方法をしっかりと理解し、問題を解く時は ① の方法で解く。

というのが良いと思います。

平方完成の問題

次の式の平方完成をしなさい。
(1) 　\(x^2+4x-1\)

(2)　\(2x^2+4x+5\)

解説

では、早速解説していきたいと思います！

解法①でシステマティックに解く方法、解法②で因数分解を利用して解く方法を解説していきます。

解法①　システマティックに解く

以上を踏まえると、

(1)　\(x^2+4x-1\)

\(x^2\) の係数が \(1\) の場合

　\(y=x^2+4x-1\)

\(=(x+2)^2-2^2-1\)
\(=(x+2)^2-4-1\)
\(=(x+2)^2-5\)

(2)　\(2x^2+4x+5\)

\(x^2\) の係数が \(1\) 以外の場合

　\(2x^2+4x+5\)

\(x^2\) の係数で、「\(\spadesuit x^2+\clubsuit x\)」の部分を係数でくくる。

\(=2(\) \(x^2+2x\)\()+5\)

カッコ部分に対して、(1) と同じことをする。

\(=2\left\{(x+1)^2-1\right\}+5\)
\(=2(x+1)^2-2+5\)
\(=2(x+1)^2+3\)

解法②　因数分解を利用して解く方法

\((x+\spadesuit)^2\) の形になるように定数を調整する。

(1)　\(x^2+4x-1\)

\(x^2\) の係数が \(1\) の場合

\(y=x^2+4x-1\)

\(y=(x^2+4x+4)-4-1\)

\(+4\) することで \((x+\spadesuit)^2\) の形を作ることができる。
しかし、\(+4\) するだけでなく \(-4\) をして調整してるところに注意

\(=(x+2)^2-4-1\)
\(=(x+2)^2-5\)

(2)　\(2x^2+4x+5\)

\(x^2\) の係数が \(1\) 以外の場合

\(2x^2+4x+5\)

\(x^2\) の係数で、「\(\spadesuit x^2+\clubsuit x\)」の部分を係数でくくる。

\(=2(\) \(x^2+2x\)\()+5\)

カッコ部分に対して、(1) と同じことをする。

\(=2\left\{(x^2+2x+1)-1\right\}+5\)

\(+1\) することで \((x+\spadesuit)^2\) の形を作ることができる。
しかし、\(+1\) するだけでなく \(-1\) をして調整してるところに注意

\(=2\left\{(x+1)^2-1\right\}+5\)
\(=2(x+1)^2-2+5\)
\(=2(x+1)^2+3\)

おわりに

今回は、平方完成のやり方を２選紹介しました。

平方完成は、二次関数の問題を解くためのスタート地点としてとても重要な計算です。

何百問と解いて体に染みつけかせましょう。