2つの分散から1つの分散を求める
今回は、2つのグループの平均値と分散が与えられているとき、その2つを合わせた全体集合の平均値を分散を求める問題です。
平均値は代表値の１つであり、分散はデータの散らばりを表しています。データの散らばりを計算する方法はいくつか種類がありますが、その中でも分散は、各データが平均値からどれくらい離れているか（散らばっているか）を表す値です。
代表値を扱った問題にチャレンジしてみたい方はこちらをチェック
平均値と分散/標準偏差
大きさ \(n\) のデータの値を \(x_1\), \(x_2\), \(\cdots\), \(x_n\) とするとき、
$$\bar{x}=\displaystyle\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots +x_n)$$
大きさ \(n\) のデータの値を \(x_1\), \(x_2\), \(\cdots\), \(x_n\) とするとき、
分散 \(s^2\)
$$s^2=\displaystyle\frac{1}{n}\{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots +(x_n-\bar{x})^2\}$$
また、\(s^2=\bar{x^2}-(\bar{x})^2\) で計算できる。
標準偏差 \(s\)
\begin{eqnarray} s &=& \sqrt{\displaystyle\frac{1}{n}\{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots +(x_n-\bar{x})^2\}}\\ &=& \sqrt{\bar{x^2}-(\bar{x})^2} \end{eqnarray}
分散や標準偏差の計算が不安な方はこちらをチェック！
分散と標準偏差の違いがピンとこない方はこちらをチェック！
平均値・分散の問題
ある集団はAとBの２つのグループで構成されている。データを集計したところ、それぞれのグループの個数、平均値、分散は右の表のようになった。このとき、集合全体の平均値と分散を求めよ。
| グループ | 個数 | 平均値 | 分散 |
| A | 20 | 16 | 24 |
| B | 60 | 12 | 28 |
平均値・分散の問題(答案の例)
グループ A の総和は、\(16\times 20=320\)
グループ B の総和は、\(12\times 60=720\)
したがって、全データの総和は、\(320+720=1040\) 。以上のことから平均を求める。
$$1040\div 80=\displaystyle\frac{1040}{80}=13（平均値）$$
グループ A の変量を \(a\) でデータの値を、
\(a_1\), \(a_2\), \(\cdots\), \(a_{20}\)
グループ B の変量を \(b\) でデータの値を、
\(b_1\), \(b_2\), \(\cdots\), \(b_{60}\)
とおき、それぞれの分散を \(s_a\), \(s_b\) とおくと、\(s_a=\bar{a^2}-(\bar{a})^2\) より
\begin{eqnarray} \bar{a^2} &=& s_a+(\bar{a})^2\\ &=& 24+16^2=280 \end{eqnarray}ここで、\(\bar{a^2}=\displaystyle\frac{1}{20}(a^2_1+a^2_2+\cdots +a^2_{20})\) より
$$a^2_1+a^2_2+\cdots +a^2_{20}=280\times 20=5600$$
同様にして、\(s_b=\bar{b^2}-(\bar{b})^2\) より
\begin{eqnarray} \bar{b^2} &=& s_b+(\bar{b})^2\\ &=& 28+12^2=172 \end{eqnarray}ここで、\(\bar{b^2}=\displaystyle\frac{1}{60}(b^2_1+b^2_2+\cdots +b^2_{60})\) より
$$b^2_1+b^2_2+\cdots +b^2_{60}=172\times 60=10320$$
以上のことから、
$$a^2_1+a^2_2+\cdots +a^2_{20}+b^2_1+b^2_2+\cdots +b^2_{60}=5600+10320$$
よって、
\begin{eqnarray} \displaystyle\frac{1}{80}\times (a^2_1+a^2_2+\cdots +a^2_{20}+b^2_1+b^2_2+\cdots +b^2_{60}) &=& \displaystyle\frac{1}{80}\times (5600+10320)\\ &=& \displaystyle\frac{5600+10320}{80}\\ &=& 70+129=199 \end{eqnarray}
したがって、\(199-169=30\)（分散）
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平均値・分散の問題(解説)
データの総和は、（平均値）\(\times\)（個数）で求めることが出来る。
よって、
グループ A の総和は、\(16\times 20=320\)
グループ B の総和は、\(12\times 60=720\)
したがって、全データの総和は、\(320+720=1040\)。以上のことから平均を求める。
$$1040\div 80=\displaystyle\frac{1040}{80}=13（平均値）$$
また、全体の分散は、全体のデータの変量を \(x\) とすると、
（分散）\(=\bar{x^2}-(\bar{x})^2\)
となる。
\((\bar{x})^2=13^2=169\) なので、\(\bar{x^2}\) を求める必要がある。
$$\bar{x^2}=\displaystyle\frac{1}{80}(x^2_1+x^2_2+\cdots +x^2_{80})\cdots ※$$
と表すこともできる。
勝手に文字を出現させられないので、各文字の説明をしながら問題を解き進めて行きましょう！
グループ A の変量を \(a\) でデータの値を、
\(a_1\), \(a_2\), \(\cdots\), \(a_{20}\)
グループ B の変量を \(b\) でデータの値を、
\(b_1\), \(b_2\), \(\cdots\), \(b_{60}\)
とおくと、
$$x^2_1+x^2_2+\cdots +x^2_{80}=a^2_1+a^2_2+\cdots +a^2_{20}+b^2_1+b^2_2+\cdots +b^2_{60}$$
と表すことができる。それぞれの分散を \(s_a\), \(s_b\) とおくと、\(s_a=\bar{a^2}-(\bar{a})^2\) より
\begin{eqnarray} \bar{a^2} &=& s_a+(\bar{a})^2\\ &=& 24+16^2=280 \end{eqnarray}ここで、\(\bar{a^2}=\displaystyle\frac{1}{20}(a^2_1+a^2_2+\cdots +a^2_{20})\) より
$$a^2_1+a^2_2+\cdots +a^2_{20}=280\times 20=5600$$
同様にして、\(s_b=\bar{b^2}-(\bar{b})^2\) より
\begin{eqnarray} \bar{b^2} &=& s_b+(\bar{b})^2\\ &=& 28+12^2=172 \end{eqnarray}ここで、\(\bar{b^2}=\displaystyle\frac{1}{60}(b^2_1+b^2_2+\cdots +b^2_{60})\) より
$$b^2_1+b^2_2+\cdots +b^2_{60}=172\times 60=10320$$
以上のことから、
\begin{eqnarray} x^2_1+x^2_2+\cdots +x^2_{80} &=& a^2_1+a^2_2+\cdots +a^2_{20}+b^2_1+b^2_2+\cdots +b^2_{60}\\ &=& 5600+10320 \end{eqnarray}
よって、※ に当てはめると、
\begin{eqnarray} \bar{x^2} &=& \displaystyle\frac{1}{80}\times (5600+10320)\\ &=& \displaystyle\frac{5600+10320}{80}\\ &=& 70+129=199 \end{eqnarray}
したがって、（分散）\(=\bar{x^2}-(\bar{x})^2\)に当てはめると、\(199-169=30\)（分散）
おわりに
今回は、2つのグループの平均値と分散が与えられているとき、その2つを合わせた全体集合の平均値を分散を求める問題でした。
さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました！
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