【確率分布と統計的推測】確率変数の変換

確率変数 \(X\) において、\(a\),　\(b\) を定数としたとき、\(Y=aX+b\) と定めると、\(Y\) も確率変数となります。このように、ある確率変数から別の確率変数を作ることを、確率変数の変換といいます。今回は、確率変数の変換を用いた問題とその解説も載せております！

確率変数の変換

表のような確率分布に従う確率変数 \(X\) を考える。

\(X\)	\(x_1\)	\(x_2\)	\(\cdots\)	\(x_n\)	計
\(P\)	\(p_1\)	\(p_2\)	\(\cdots\)	\(p_n\)	\(1\)

\(a\),　\(b\) が定数のとき、\(X\) の \(1\) 次式 \(Y=aX+b\) で \(Y\) を定めると、\(Y\) もまた確率変数になる。\(Y\) のとる値は、

　\(y_k=ax_k+b\) (\(k=1, 2, \cdots, n\) )

である。\(X\) に対して、上のような \(Y\) を考えることを確率変数の変換という。

（証明）

①　\(E(Y)=\displaystyle\sum_{k=1}^n y_k p_k\)

　　\(=\displaystyle\sum_{k=1}^n (ax_k+b)p_k=a\sum_{k=1}^n x_kp_k+b\sum_{k=1}^n p_k\)

　　\(=aE(X)+b\)

②　\(V(Y)=\displaystyle\sum_{k=1}^n \{y_k-E(Y)\}^2 p_k\) であり、

　　\(y_k-E(Y)=(ax_k+b)-\{aE(X)+b\}=a\{x_k-E(X)\}\)

ゆえに、\(V(Y)=a^2\displaystyle\sum_{k=1}^n\{x_k-E(X)\}^2 p_k=a^2 V(X)\)

③　\(\sigma (Y)=\sqrt{V(Y)}=\sqrt{a^2V(X)}\)

　　\(=|a|\sqrt{V(X)}=|a|\sigma (X)\)

※ ②,　③ の式からわかるように、確率変数 \(X\) に対して \(Y=aX+b\) と変換しても、定数 \(b\) は分散や標準偏差に影響を与えない。

確率変数の変換の問題

袋の中に赤玉が \(4\) 個、白玉が \(6\) 個入っている。この袋の中から同時に \(4\) 個の球を取り出すとき、赤玉の個数を \(X\) とする。確率変数 \(2X+3\) の期待値 \(E(2X+3)\) と分散 \(V(2X+3)\) 、標準偏差 \(\sigma (2X+3)\) を求めよ。

解説

確率変数 \(X\) のとりうる値は、\(X=0\),　\(1\),　\(2\),　\(3\),　\(4\) であり

(a) 赤玉を \(4\) 個取り出すとき

　\(P(X=0)=\displaystyle\frac{{}_6C_4}{{}_10C_4}=\frac{15}{210}\)

(b) 赤玉を \(3\) 個、白玉を \(1\) 個取り出すとき

　\(P(X=1)=\displaystyle\frac{{}_4C_1\cdot {}_6C_3}{{}_10C_4}=\frac{80}{210}\)

(c) 赤玉を \(2\) 個、白玉を \(2\) 個取り出すとき

　\(P(X=0)=\displaystyle\frac{{}_4C_2\cdot {}_6C_2}{{}_10C_4}=\frac{90}{210}\)

(c) 赤玉を \(1\) 個、白玉を \(3\) 個取り出すとき

　\(P(X=0)=\displaystyle\frac{{}_4C_3\cdot {}_6C_1}{{}_10C_4}=\frac{24}{210}\)

(d) 白玉を \(4\) 個取り出すとき

　\(P(X=0)=\displaystyle\frac{{}_4C_4}{{}_10C_4}=\frac{1}{210}\)

\(X\)	0	1	2	3	4	計
\(P\)	\(\displaystyle\frac{15}{210}\)	\(\displaystyle\frac{80}{210}\)	\(\displaystyle\frac{90}{210}\)	\(\displaystyle\frac{24}{210}\)	\(\displaystyle\frac{1}{210}\)	1

　\(E(X)=1\cdot\displaystyle\frac{80}{210}+2\cdot\frac{90}{210}+3\cdot\frac{24}{210}+4\cdot\frac{1}{210}=\frac{8}{5}\)

　\(V(X)=\big(1^2\cdot\displaystyle\frac{80}{210}+2^2\cdot\frac{90}{210}+3^2\cdot\frac{24}{310}+4^2\cdot\frac{1}{210}\big)-\big(\frac{8}{5}\big)^2\)

　\(=\displaystyle\frac{16}{5}-\big(\frac{8}{5}\big)^2=\frac{16}{25}\)

　\(\sigma(X)=\sqrt{\displaystyle\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\)

したがって、

　\(E(2X+3)=2E(X)+3=2\cdot\displaystyle\frac{8}{5}+3=\frac{31}{5}\)

　\(V(2X+3)=2^2V(X)=4\cdot\displaystyle\frac{16}{25}=\frac{64}{25}\)

　\(\sigma(2X+3)=2\sigma(X)=2\cdot\displaystyle\frac{4}{5}=\frac{8}{5}\)

おわりに