【積分法】計算をサボる最強ツール『King Property（キングプロパティ）』

入試でもたまに出題される定積分の性質です。導出も含めてそこまで難しい性質ではないのでぜひ覚えておきましょう！

使わなくても解ける、けど使えば別の未来が開ける。

by Math kit 運営 yu-to

使わずに無理やり計算すれば大体解けます。ただ使えば、短縮された分、別の問題に時間がかけられるので未来（結果）が変わると思います！

King Property の導出

\(\displaystyle\int_a^b f(x)dx=\int_a^b f(a+b-x) dx\)

いくつか導出方法がありますが、今回は右辺から左辺を示すやり方を紹介していきます。

導出）

\(\displaystyle\int_a^b f(a+b-x) dx\)

　\(u=a+b-x\) とおくと \(du=-dx\)

\(x\)：\(a\) \(\longrightarrow\) \(b\)
\(u\)：\(b\) \(\longrightarrow\) \(a\)

\(=\displaystyle\int_b^a f(u) (-du)\)

\(=\displaystyle\int_a^b f(u)du\)

\(u\) を \(x\) と置いて、

\(=\displaystyle\int_a^b f(x)dx\)

King Property の例題

例題 1）三角関数の定積分

\(I=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} dx\) を求めよ。

解説）

King Property より

\(I=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} dx\)

　\(=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin(\frac{\pi}{2}-x)+\cos(\frac{\pi}{2}-x)} dx\)

加法定理より

　\(=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x} dx\)

\(2I=I+I\) より

　\(=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx\)

　\(=\big[x\big]_0^{\frac{\pi}{2}}\)

　\(=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

よって、\(I=\displaystyle\frac{\pi}{4}\)

例題 2）指数関数の定積分

\(I=\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{1}{1+e^{x}} dx\) を求めよ。

解説）

King Property より

\(I=\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{1}{1+e^{x}} dx\)

　\(=\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{1}{1+e^{-x}} dx\)

　\(=\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{1}{1+\frac{1}{e^{x}}} dx\)

　\(=\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{e^x}{e^x+1} dx\)

\(2I=I+I\) より

\(2I=\displaystyle\int_{-1}^1\frac{1}{1+e^x}dx+\int_{-1}^1 \frac{e^x}{e^x+1}dx\)

　\(=\displaystyle\int_{-1}^1 1dx\)

　\(=[x]_{-1}^1=2\)

\(I=1\)

おわりに