\(\displaystyle\int_a^b f(x)dx=\int_a^b f(a+b-x) dx\)
入試でもたまに出題される定積分の性質です。導出も含めてそこまで難しい性質ではないのでぜひ覚えておきましょう！
使わなくても解ける、けど使えば別の未来が開ける。
by Math kit 運営 yu-to
使わずに無理やり計算すれば大体解けます。ただ使えば、短縮された分、別の問題に時間がかけられるので未来（結果）が変わると思います！
King Property の導出
\(\displaystyle\int_a^b f(x)dx=\int_a^b f(a+b-x) dx\)
いくつか導出方法がありますが、今回は右辺から左辺を示すやり方を紹介していきます。
導出）
\(\displaystyle\int_a^b f(a+b-x) dx\)
\(u=a+b-x\) とおくと \(du=-dx\)
\(x\)：\(a\) \(\longrightarrow\) \(b\)
\(u\)：\(b\) \(\longrightarrow\) \(a\)
変数を変換する場合は、積分区間も変換されることを忘れずに！
\(=\displaystyle\int_b^a f(u) (-du)\)
\(=\displaystyle\int_a^b f(u)du\)
定積分の変数に意味はあまりないので、\(u\) を \(x\) と捉えても問題はない！
\(u\) を \(x\) と置いて、
\(=\displaystyle\int_a^b f(x)dx\)
King Property の例題
例題 1）三角関数の定積分
\(I=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} dx\) を求めよ。
積分区間の下端が \(0\) である場合は、
\(\displaystyle\int_0^a f(x) dx=\int_0^a f(a-x) dx\)
を使っていきます。
解説）
King Property より
\(I=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} dx\)
\(=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin(\frac{\pi}{2}-x)+\cos(\frac{\pi}{2}-x)} dx\)
加法定理より
\(=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x} dx\)
\(2I=I+I\) より
\(2I=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}dx\)
\(=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx\)
\(=\big[x\big]_0^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)
よって、\(I=\displaystyle\frac{\pi}{4}\)
例題 2）指数関数の定積分
\(I=\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{1}{1+e^{x}} dx\) を求めよ。
解説）
King Property より
\(I=\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{1}{1+e^{x}} dx\)
\(=\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{1}{1+e^{-x}} dx\)
\(=\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{1}{1+\frac{1}{e^{x}}} dx\)
\(=\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{e^x}{e^x+1} dx\)
\(2I=I+I\) より
\(2I=\displaystyle\int_{-1}^1\frac{1}{1+e^x}dx+\int_{-1}^1 \frac{e^x}{e^x+1}dx\)
\(=\displaystyle\int_{-1}^1 1dx\)
\(=[x]_{-1}^1=2\)
\(I=1\)
おわりに
さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました！
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