【数列】『漸化式全パターン』漸化式の基本解法を解説

隣接２項間の漸化式

①　等差数列　\(a_{n+1}-a_n=d\)

②　等比数列　\(a_{n+1}=ra_n\)

③　階差数列　\(a_{n+1}=a_n+f(n)\)

④　\(a_{n+1}=pa_n+q\)

　(i)　\(a_{n+1}=pa_n+q\)

　(ii)　\(a_{n+1}=pa_n+f(n)\)

　(iii)　\(a_{n+1}=pa_n+q^n\)

　(iv)　\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_n}{pa_n+q}\)

　(v)　\(a_{n+1}=pa_n{}^q\)

⑤　その他

　(i)　\(a_{n+1}=f(n)a_n+q\)

　(ii)　\(a_n=f(n)a_{n-1}\)

隣接３項間の漸化式　

\(pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_n=0\)

①　特性方程式の解 \(\alpha\),　\(\beta\) が \(\alpha\neq \beta\) となる場合

②　特性方程式の解 \(\alpha\),　\(\beta\) が \(\alpha=\beta\) となる場合

連立漸化式

\(\begin{cases} a_{n+1}=pa_n+qb_n \\b_{n+1}=ra_n+sb_n \end{cases}\)

①　\(x\),　\(y\) の組が２組ある場合

②　\(x\),　\(y\) の組が１組だけの場合

分数形の漸化式

\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{ra_n+s}{pa_n+q}\)

①　特性方程式の解 \(\alpha\),　\(\beta\) が \(\alpha\neq \beta\) となる場合

②　特性方程式の解 \(\alpha\),　\(\beta\) が \(\alpha=\beta\) となる場合

次の条件によって定められる数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。

(1)　\(a_1=-3\),　\(a_{n+1}=a_n+4\)

(2)　\(a_1=4\),　\(2a_{n+1}+3a_n=0\)

(3)　\(a_1=1\),　\(a_{n+1}=a_n+2^n-3n+1\)

解答

(1)　\(a_1=-3\),　\(a_{n+1}=a_n+4\)

\(a_{n+1}-a_n=4\) より、数列 \(\{a_n\}\) は初項 \(a_1=-3\),　公差 \(4\) の等差数列であるので、

\(a_n=-3+(n-1)\times 4\)

\(=-3+4n-4\)

\(=4n-7\)

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(2)　\(a_1=4\),　\(2a_{n+1}+3a_n=0\)

\(a_{n+1}=-\displaystyle\frac{3}{2}a_n\) より、数列 \(\{a_n\}\) は初項 \(a_1=4\),　公比 \(-\displaystyle\frac{3}{2}\) の等比数列であるので、

\(a_n=4\times \left(-\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{n-1}\)

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(3)　\(a_1=1\),　\(a_{n+1}=a_n+2^n-3n+1\)

\(a_{n+1}-a_n=2^n-3n+1\) より、数列 \(\{a_n\}\) は階差数列となる。

よって、\(n\leq 2\) のとき、

\(a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(2^k-3k+1)\)

\(=1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}2^k-\sum_{k=1}^{n-1} 3k+\sum_{k=1}^{n-1} 1\)

\(=1+\displaystyle\frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1}-3\cdot \displaystyle\frac{1}{2}(n-1)n+(n-1)\)

\(=1+2^n-2-\displaystyle\frac{3}{2}n^2+\frac{3}{2}n+n-1\)

\(=2^n-\displaystyle\frac{3}{2}n^2+\frac{5}{2}n-2\)

\(n=1\) のとき

\(2^1-\displaystyle\frac{3}{2}+\frac{5}{2}-2=1\) より \(n=1\) のときも成り立つ。

したがって、\(a_n=2^n-\displaystyle\frac{3}{2}n^2+\frac{5}{2}n-2\)

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次の条件によって定められる数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。

\(a_1=6\),　\(a_{n+1}=4a_n-3\)

解答

特性方程式より

\(\alpha=4\alpha-3\)

\(-3\alpha=-3\)

\(\alpha=1\)

\(a_{n+1}-1=4(a_n-1)\)

\(b_n=a_n-1\) とおくと、\(b_1=6-1=5\) となり、

\(b_{n+1}=4b_n\)

よって、\(\{b_n\}\) は初項 \(5\),　公比 \(4\) の等比数列であるから、

\(b_n=5\cdot 4^{n-1}\)

\(a_n+1=5\cdot 4^{n-1}\)

\(a_n=5\cdot 4^{n-1}-1\)