関数の極限
関数の極限
\(1\) つの有限な値に収束 \(\cdots\) 極限値がある 極限がある
\(\infty\) に発散 \(\cdots\) 極限値はない 極限がある
\(-\infty\) に発散 \(\cdots\) 極限値はない 極限がある
極限はない \(\cdots\) 極限がない
極限とは、「限りなく◯◯に近づく」という意味で、極限値とは、「近づいた結果得られる解」を指します！
関数の極限の性質
\(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\alpha\), \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=\beta\) (\(\alpha\), \(\beta\) が有限な値) のとき
① \(\displaystyle\lim_{x\to a} \{kf(x)+lg(x)\} =k\alpha+l\beta\) ただし \(k\), \(l\) は定数
② 積 \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)g(x)=\alpha\beta\)
③ 商 \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta}\) ただし \(\beta\neq 0\)
極限が掛け算もしくは割り算されていれば、極限値も掛け算もしくは割り算されているので直感的にわかりやすいですね！
関数の片側からの極限
右側極限 \(\displaystyle\lim_{x\to a+0} f(x)\) \(x>a\) で、\(x\longrightarrow\alpha\) のときの \(f(x)\) の極限
左側極限 \(\displaystyle\lim_{x\to a-0} f(x)\) \(x<a\) で、\(x\longrightarrow\alpha\) のときの \(f(x)\) の極限
\(\displaystyle\lim_{x\to a+0} f(x)=\lim_{x\to a-0} f(x)=\alpha \longleftrightarrow\lim_{x\to a}=\alpha\)
指数関数、対数関数の極限
① 指数関数 \(y=a^x\) について
\(a>1\) のとき \(\displaystyle\lim_{x\to\infty} a^x=\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} a^x=0\)
\(0<a<1\) のとき \(\displaystyle\lim_{x\to\infty} a^x=0\), \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} a^x=\infty\)
② 対数関数 \(y=\log_a x\) について
\(a>1\) のとき \(\displaystyle\lim_{x\to \infty} \log_a x=\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to +0} \log_a x=-\infty\)
\(0<a<1\) のとき \(\displaystyle\lim_{x\to \infty} \log_a x=-\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to +0} \log_a x=\infty\)
関数の極限値の大小関係
① \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\alpha\), \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=\beta\) とする。
(A) \(x\) が \(a\) に近いとき、常に \(f(x)\leq g(x)\) ならば \(\alpha\leq\beta\)
(B) \(x\) が \(a\) に近いとき、常に \(f(x)\leq h(x)\leq g(x)\) かつ \(\alpha=\beta\) のとき
\(\displaystyle\lim_{x\to a} h(x)=\alpha\) (はさみうちの原理)
② 十分大きい \(x\) で常に \(f(x)\leq g(x)\) かつ \(\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty\) ならば
\(\displaystyle\lim_{x\to\infty} g(x)=\infty\)
関数の極限の問題
(1) \(\displaystyle\lim_{x\to 2} \frac{x^3-3x-2}{x^2-3x+2}\)
(2) \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}\big(\frac{3}{x+3}-1\big)\)
(3) \(\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}\)
（解説）
(1) \(\displaystyle\lim_{x\to 2} \frac{x^3-3x-2}{x^2-3x+2}\)
\(\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^2-3x+2}=\lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(x^2+2x+1)}{(x-1)(x-2)}\)
\(=\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{(x+1)^2}{x-1}=9\)
(2) \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}\big(\frac{3}{x+3}-1\big)\)
\(\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}\big(\frac{3}{x+3}-1\big)=\lim_{x\to 0}\big\{\frac{1}{x}\cdot\frac{3-(x+3)}{x+3}\big\}\)
\(=\displaystyle\lim_{x\to 0}\big(\frac{1}{x}\cdot\frac{-x}{x+3}\big)\)
\(=\displaystyle\lim_{x\to 0}\big(-\frac{1}{x+3}\big)=-\frac{1}{3}\)
(3) \(\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}\)
\(\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{(\sqrt{x+5}-3)(\sqrt{x+5}+3)}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}\)
\(=\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{(x+5)-9}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}\)
\(=\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{1}{\sqrt{x+5}+3}=\frac{1}{6}\)
おわりに
さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました！
数学は、時間をかけて勉強すれば誰でも成績を上げられます！
しかし、時間には限りがあります。
アプリや塾/家庭講師など自分に合ったサポートを取り入れることで、限りある時間を効率的に使うことができます。
▼自走して学習が進められる人
日々の悩みを解決できるコーチング面談や日々の学習計画を見直せるサポートがおすすめです。
▼自走して学習が進められない人
毎週講師による授業をしっかり受けて、宿題を設定してもらうサポートがおすすめです。
コメントはお気軽に♪