関数 \(f(x)\) が、\(x=a\) で連続
\(\longleftrightarrow\) \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=f(a)\) が成り立つ。
連続性
今回は関数の連続性について解説していきます。
数学Ⅲになって新しく追加された概念ですので少し難しく感じますが、基本的な問題も載せていますので定義を確認後問題も解いてみてください！
関数の連続性
① \(x=a\) で連続
関数 \(f(x)\) において、その定義域の \(x\) の値 \(\alpha\) に対して、
・極限値 \(\displaystyle\lim_{x\to\alpha} f(x)\) が存在
・\(\displaystyle\lim_{x\to\alpha}f(x)=f(\alpha)\)
のとき、\(f(x)\) は \(x=\alpha\) で連続である。
※「\(y=f(x)\) のグラフは \(x=\alpha\) でつながっている」と捉えると良い。
② 不連続
関数 \(f(x)\) がその定義域の \(x\) の値 \(\alpha\) で連続でないとき、\(f(x)\) は \(x=\alpha\) で不連続であるという。
③ \(f(x)\), \(g(x)\) が \(x=\alpha\) で連続ならば、次の関数も \(x=\alpha\) で連続である。
\(kf(x)+lg(x)\) (\(k\), \(l\) は定数), \(f(x)g(x)\), \(g(a)\neq 0\) のとき \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\)
（解説）
関数 \(y=\begin{cases} x^2&(x\neq 0)\\1&(x=0)\end{cases}\) の連続性について考えてみよう。
定義域は実数全体であり、
\(x\neq 0\) のとき、
\(f(x)\) は \(x=a\) (\(a\neq 0\)) で連続である。
\(x=0\) のとき、
\(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)=\lim_{x \to 0} x^2=0\), \(f(0)=1\)
よって、\(\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)\neq f(0)\)
ゆえに、関数 \(f(x)\) は \(x=0\) で連続でない（不連続である）。
一般に、[1] または [2] が成り立てば、関数 \(f(x)\) は \(x=a\) で不連続である。
[1] \(x\longrightarrow a\) のとき、関数 \(f(x)\) が極限値をもたない。
[2] 極限値 \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)\) が存在するが \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\neq f(a)\)
連続関数の性質
① 最大値・最小値の定理
閉区間で連続な関数は、その閉区間で、最大値および最小値をもつ。
② 中間値の定理
関数 \(f(x)\) が閉区間 \([a\), \(b]\) で連続で、\(f(a)\neq f(b)\) ならば、\(f(a)\) と \(f(b)\) の間の任意の値 \(k\) に対して \(f(c)=k\) を満たす \(c\) が、\(a\) と \(b\) の間に少なくとも \(1\) つある。
「閉区間 \([a\), \(b]\) で連続」とは、\(a\leq x\leq b\) でその間が途切れずに繋がっているという意味！
③ 関数 \(f(x)\) が閉区間 \([a\), \(b]\) で連続で、\(f(a)\) と \(f(b)\) が異符号ならば、方程式 \(f(x)=0\) は \(a<x<b\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつ。
（解説）
① 最大値・最小値の定理
※直感的な証明
閉区間で連続な関数は、区間の両端を含むすべての \(x\) の値に対し \(y\) の値が存在するから、\(y\) の値の最大のものが最大値、最小のものが最小値となる。
なお、この定理については、前提条件「閉区間で連続」が重要である。閉区間、連続どちらの条件が欠けても定理は成り立たない。どちらかが欠けた時、次の [1] や [2] のような場合が起こりうる。
[1] 区間が \(a<x\leq b\)
範囲に \(f(a)=a\) が含まれないため最小値がない。
[2] 不連続な点がある
範囲に \(f(c)=c\) が含まれないため最大値がない。
② 中間値の定理
この定理についても、「閉区間で連続」という条件が大切である。この条件が満たされないと、右の [3], [4] のような場合が起こりうるので、\(f(c)=k\) となる \(c\) (\(a<c<b\)) が存在しないことがある。
[3] 区間 \(a<x\leq b\) で連続
[4] 不連続な点がある
例題
関数の連続・不連続について調べる例題
\(-1\leq x\leq 2\) とする。関数 \(f(x)=x|x|\) の連続性について調べよ。
（解説）
\(x>0\) のとき \(f(x)=x^2\)
\(x<0\) のとき \(f(x)=-x^2\)
よって、グラフは図のようになります。
\(\displaystyle\lim_{x\to +0} f(x)=\lim_{x\to +0} x^2=0\)
\(\displaystyle\lim_{x\to -0} f(x)=\lim_{x\to +0} (-x^2)=0\)
また、\(f(0)=0\) ゆえに \(\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)=f(0)\)
よって、\(x=0\) で連続であり \(-1\leq x\leq 2\) で連続。
中間値の定理の利用の問題
方程式 \(3^x=2(x+1)\) は、\(1<x<2\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつことを示せ。
（解説）
\(f(x)=3^x-2(x+1)\) とすると、関数 \(f(x)\) は区間 \([1\), \(2]\) で連続であり、かつ
\(f(1)=-1<0\), \(f(2)=3>0\)
よって、中間値の定理により、
方程式 \(f(x)=0\) は \(1<x<2\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつ。
おわりに
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