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数学は非常に難しい科目です。
学校の授業や塾の授業だけだと足りないという方も多くいるのではないでしょうか?そんな方に向けて、なるべく途中式を飛ばさずに丁寧に解説をしたブログとなっています。

高校数学/公務員試験頻出問題の解説や学習に役立つTipsだったり、モチベを上げてくれるような記事も書いていきますので、ぜひ読んでくださいね!

【微分法の応用】曲線の凹凸・変曲点

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目次

曲線の凹凸・変曲点

今回は変曲点についてです!

変曲点とは、「グラフの曲がり方が変わる点」のことです。

言い換えると、「接線の傾きが増加から減少に切り替わる点」とも言えます!

[1] 曲線の凹凸

関数 \(f(x)\) は第 \(2\) 次導関数 \(f”(x)\) をもつとする。

\(f”(x)>0\) である区間では、曲線 \(y=f(x)\) は下に凸
\(f”(x)<0\) である区間では、曲線 \(y=f(x)\) は上に凸

[2] 変曲点

① 凹凸が変わる曲線上の点のこと。\(f”(a)=0\) であって、\(x=a\) の前後で \(f”(x)\) の符号が変わるならば、点 \(P(a\), \(f(a))\) は曲線 \(y=f(x)\) の変曲点である。

② 点 \((a\), \(f(a))\) が曲線 \(y=f(x)\) の変曲点ならば \(f”(a)=0\)

関数のグラフの概形

次の ① 〜 ⑥ に注意してかく。

① 定義域
 \(x\), \(y\) の変域に注意して、グラフの存在範囲を調べる。
② 対称性
 \(x\) 軸対称、\(y\) 軸対称、原点対称などの対称性を調べる。
③ 増減と極値
 \(y’\) の符号の変化を調べる。
④ 凹凸と変曲点
 \(y”\) の符号の変化を調べる。
⑤ 座標軸との共有点
 \(x=0\) のときの \(y\) の値、\(y=0\) のときの \(x\) の値を求める。
⑥ 漸近線
 \(x\longrightarrow\pm\infty\) のときの \(y\) の極限や、\(y\longrightarrow\pm\infty\) となる \(x\) の値を調べる。

第 \(2\) 次導関数と極値

\(x=a\) を含むある区間で \(f”(x)\) は連続であるとする。

① \(f'(a)=0\), \(f”(a)<0\) ならば、\(f(a)\) は極大値である。
② \(f'(a)=0\), \(f”(a)>0\) ならば、\(f(a)\) は極小値である。

関数のグラフの問題

曲線 \(y=\displaystyle\frac{x}{x^2+1}\) の変曲点を求め、グラフを描きなさい。

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(解説)

\(y’=\displaystyle\frac{x’\cdot (x^2+1)-x\cdot (x^2+1)’}{(x^2+1)^2}\)

 \(=\displaystyle\frac{x^2+1-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}\)

 \(=-\displaystyle\frac{x^2-1}{(x^2+1)^2}\)

\(y’=0\) とすると \(x=1\), \(-1\)

\(y”=-\displaystyle\frac{(x^2-1)'(x^2+1)^2-(x^2-1)\{(x^2+1)^2\}’}{(x^2+1)^4}\)

 \(=-\displaystyle\frac{2x(x^2+1)^2-(x^2-1)\cdot 2(x^2+1)\cdot 2x}{(x^2+1)^4}\)

 \(=-\displaystyle\frac{2x(x^2+1)^2-4x(x^2-1)(x^2+1)}{(x^2+1)^4}\)

 \(=-\displaystyle\frac{2x(x^2+1)\{(x^2+1)-2(x^2-1)\}}{(x^2+1)^4}\)

 \(=-\displaystyle\frac{2x(x^2+1)(-x^2+3)}{(x^2+1)^4}\)

 \(=\displaystyle\frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}\)

 \(=\displaystyle\frac{2x(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})}{(x^2+1)^3}\)

\(y”=0\) とすると \(x=0\), \(\pm\sqrt{3}\)

\(y”\) の符号を調べると、常に \((x^2+1)^3>0\) であるから、この曲線の凹凸は次の表のようになる。

おわりに

さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました!

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