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【微分法の応用】方程式・不等式への応用

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目次

方程式・不等式への応用

今回は方程式や不等式に、微分法を応用する方法を解説します!

この単元では、増減表の描き方やグラフの描き方が前提の知識となります。

復習をしたい方はこちらをチェック!

不等式 \(f(x)>g(x)\) の証明

\(F(x)=f(x)-g(x)\) とおき、関数 \(F(x)\) の増減を調べて証明する。

① \(F(x)\) の最小値を求め、

 [ \(F(x)\) の (最小値) \(>0\)] を示す。

最小値が \(0\) より大きいことは、その関数全体が \(0\) より大きいことを示したことになりますね!

② \(F(x)\) が単調に増加 [\(F'(x)>0\) ] して

 \(F(a)\geq 0\) ならば, \(x>a\) のとき \(f(x)>g(x)\) であることを利用する。

例)

\(x>0\) のとき、不等式 \(x>\sin x\) が成り立つことの証明

\(F(x)=x-\sin x\) とおくと、

\(F'(x)=1-\cos x\)

\(x>0\) のとき \(0\leq \cos x\leq 1\) より

\(F'(x)\leq 0\)

ゆえに、\(F(x)\) は \(x\leq 0\) で単調に増加する。

\(F(x)\) が単調増加であることが示せれば、グラフは描く必要はありません!

このことと、\(F(0)=0\) から、

\(x>0\) のとき \(F(x)>0\) すなわち \(x>\sin x\)

方程式・不等式への応用の問題

\(x>0\) のとき、不等式 \(\log (1+x)<\displaystyle\frac{1+x}{2}\) が成り立つことを証明せよ。

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(解説)

\(f(x)=\displaystyle\frac{1+x}{2}-\log (1+x)\) とおくと、

\(f'(x)=\displaystyle\frac{1}{2}-\frac{1}{1+x}\)

 \(=\displaystyle\frac{x-1}{2(1+x)}\)

\(f'(x)=0\) とすると、

\(f'(x)=\displaystyle\frac{x-1}{2(1+x)}=0\)

 \(x-1=0\)

 \(x=1\)

\(x>0\) における増減表は以下のようになる。

\(1-\log 2>0\) であるから、\(x>0\) のとき

 \(f(x)\geq f(1)>0\)

よって、\(x>0\) のとき

 \(\log (1+x)<\displaystyle\frac{1+x}{2}\)

おわりに

さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました!

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