【微分法の応用】方程式・不等式への応用

方程式・不等式への応用

今回は方程式や不等式に、微分法を応用する方法を解説します！

この単元では、増減表の描き方やグラフの描き方が前提の知識となります。

復習をしたい方はこちらをチェック！

不等式 \(f(x)>g(x)\) の証明

例）

\(x>0\) のとき、不等式 \(x>\sin x\) が成り立つことの証明

\(F(x)=x-\sin x\) とおくと、

\(F'(x)=1-\cos x\)

\(x>0\) のとき \(0\leq \cos x\leq 1\) より

\(F'(x)\leq 0\)

ゆえに、\(F(x)\) は \(x\leq 0\) で単調に増加する。

このことと、\(F(0)=0\) から、

\(x>0\) のとき \(F(x)>0\) すなわち \(x>\sin x\)

方程式・不等式への応用（問題）

\(x>0\) のとき、不等式 \(\log (1+x)<\displaystyle\frac{1+x}{2}\) が成り立つことを証明せよ。

方程式・不等式への応用（解説）

\(f(x)=\displaystyle\frac{1+x}{2}-\log (1+x)\) とおくと、

\(f'(x)=\displaystyle\frac{1}{2}-\frac{1}{1+x}\)

　\(=\displaystyle\frac{x-1}{2(1+x)}\)

\(f'(x)=0\) とすると、

\(f'(x)=\displaystyle\frac{x-1}{2(1+x)}=0\)

　\(x-1=0\)

　\(x=1\)

\(x>0\) における増減表は以下のようになる。

\(1-\log 2>0\) であるから、\(x>0\) のとき

　\(f(x)\geq f(1)>0\)

よって、\(x>0\) のとき

　\(\log (1+x)<\displaystyle\frac{1+x}{2}\)

おわりに