「微分」こそが高校数学の集大成
by yu-to
関数の値の変化、最大・最小
関数の増加と減少
関数 \(f(x)\) が閉区間 \([a\), \(b]\) で連続で、開区間 \((a\), \(b)\) で微分可能であるとする。
1 開区間 \((a\), \(b)\) で常に \(f'(x)>0\) ならば、\(f(x)\) は \([a\), \(b]\) で単調に増加する
2 開区間 \((a\), \(b)\) で常に \(f'(x)<0\) ならば、\(f(x)\) は \([a\), \(b]\) で単調に減少する
3 開区間 \((a\), \(b)\) で常に \(f'(x)=0\) ならば、\(f(x)\) は \([a\), \(b]\) で定数である
上の説明と下の図の色がリンクしてるよ！
極大値と極小値の求め方
\(y=f(x)\) において、
\(x=a\) を境目として \(f'(x)\) が正から負に変われば極大値 \(f(a)\)をとる。
\(x=a\) を境目として \(f'(x)\) が負から正に変われば極小値 \(f(a)\) をとる。
\(f'(x)\) の正負と \(f(x)\) の増減の関係性を掴もう！
関数の極値（問題）
次の関数の極値を求めよ。
(1) \(y=(x^2-3)e^{-x}\)
(2) \(y=|x|\sqrt{x+3}\)
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解説
(1) \(y=(x^2-3)e^{-x}\)
積の微分
\({f(x)g(x)}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
\(y’=2xe^{-x}+(x^2-3)(-e^{-x})\)
\(=-(x+1)(x-3)e^{-x}\)
\(y’=0\) とすると、\(x=-1\), \(3\)
増減表は以下のようになる。
よって、
\(x=3\) で極大値 \(\displaystyle\frac{6}{e^3}\)
\(x=-1\) で極小値 \(-2e\)
(2) \(y=|x|\sqrt{x+3}\)
定義域は \(x\leq -3\) である。
\(x\leq 0\) のとき、\(y=x\sqrt{x+3}\) であるから、\(x>0\) では
\(y’=\sqrt{x+3}+\displaystyle\frac{x}{2\sqrt{x+3}}\)
\(=\displaystyle\frac{3(x+2)}{2\sqrt{x+3}}\)
ゆえに、\(x>0\) では常に \(y’>0\)
\(-3\leq x<0\) のとき、
\(y=-x\sqrt{x+3}\) であるから、\(-3<x<0\)
では \(y’=-\displaystyle\frac{3(x+2)}{2\sqrt{x+3}}\)
\(y’=0\) とすると \(x=-2\)
増減表は以下のようになる。
よって
\(x=-2\) で極大値 \(2\)
\(x=0\) で極大値 \(0\)
おわりに
さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました！
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