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数学は非常に難しい科目です。
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高校数学/公務員試験頻出問題の解説や学習に役立つTipsだったり、モチベを上げてくれるような記事も書いていきますので、ぜひ読んでくださいね!
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【微分法の応用】関数の値の変化、最大・最小

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「微分」こそが高校数学の集大成

by yu-to

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目次

関数の値の変化、最大・最小

関数の増加と減少

関数 \(f(x)\) が閉区間 \([a\), \(b]\) で連続で、開区間 \((a\), \(b)\) で微分可能であるとする。

1 開区間 \((a\), \(b)\) で常に \(f'(x)>0\) ならば、\(f(x)\) は \([a\), \(b]\) で単調に増加する
2 開区間 \((a\), \(b)\) で常に \(f'(x)<0\) ならば、\(f(x)\) は \([a\), \(b]\) で単調に減少する
3 開区間 \((a\), \(b)\) で常に \(f'(x)=0\) ならば、\(f(x)\) は \([a\), \(b]\) で定数である

上の説明と下の図の色がリンクしてるよ!

極大値と極小値の求め方

\(y=f(x)\) において、

\(x=a\) を境目として \(f'(x)\) がからに変われば極大値 \(f(a)\)をとる。
\(x=a\) を境目として \(f'(x)\) がからに変われば極小値 \(f(a)\) をとる。

\(f'(x)\) の正負と \(f(x)\) の増減の関係性を掴もう!


 

関数の極値(問題)

次の関数の極値を求めよ。

(1) \(y=(x^2-3)e^{-x}\)
(2) \(y=|x|\sqrt{x+3}\)

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解説

(1) \(y=(x^2-3)e^{-x}\)

積の微分

\({f(x)g(x)}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)

\(y’=2xe^{-x}+(x^2-3)(-e^{-x})\)

 \(=-(x+1)(x-3)e^{-x}\)

\(y’=0\) とすると、\(x=-1\), \(3\)

増減表は以下のようになる。

よって、

\(x=3\) で極大値 \(\displaystyle\frac{6}{e^3}\)

\(x=-1\) で極小値 \(-2e\)

(2) \(y=|x|\sqrt{x+3}\)

定義域は \(x\leq -3\) である。

\(x\leq 0\) のとき、\(y=x\sqrt{x+3}\) であるから、\(x>0\) では

 \(y’=\sqrt{x+3}+\displaystyle\frac{x}{2\sqrt{x+3}}\)

 \(=\displaystyle\frac{3(x+2)}{2\sqrt{x+3}}\)

ゆえに、\(x>0\) では常に \(y’>0\)

\(-3\leq x<0\) のとき、

\(y=-x\sqrt{x+3}\) であるから、\(-3<x<0\)

では \(y’=-\displaystyle\frac{3(x+2)}{2\sqrt{x+3}}\)

\(y’=0\) とすると \(x=-2\)

増減表は以下のようになる。

よって 

\(x=-2\) で極大値 \(2\)
\(x=0\) で極大値 \(0\)

おわりに

さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました!

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