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数学は非常に難しい科目です。
学校の授業や塾の授業だけだと足りないという方も多くいるのではないでしょうか?そんな方に向けて、なるべく途中式を飛ばさずに丁寧に解説をしたブログとなっています。

高校数学/公務員試験頻出問題の解説や学習に役立つTipsだったり、モチベを上げてくれるような記事も書いていきますので、ぜひ読んでくださいね!
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【命題】必要条件と十分条件

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目次

「AはBであるための~」は、「AならばB」と「BならばA」を考えよう

今回は命題という分野について考えていきます。

この分野は、高校数学の中でもかなり混乱しやすい分野ですが、この記事を読めば、もう大丈夫です。
一つひとつ順を追って解説していきますので、一緒に見ていきましょう。

必要条件と十分条件(問題)

次の(ア)から(エ)に当てはまるものを、「必要条件」「十分条件」「必要十分条件」「必要条件でも十分条件でもない」の中から選びなさい。ただし、 \(x\) 、 \(y\) は実数とします。

(\(1\))\(x+y=0\) であることは、 \(x=0\) かつ \(y=0\) であるための(ア)である。
(\(2\))\(x<-2\) は、\(x<0\) の(イ)である。
(\(3\))\(x=y=0\) であることは、\(x^2+y^2=0\) であるための(ウ)である。
(\(4\))\(xy=10\) は、\(x=5\)または\(y=2\)であるための(エ)である。

答案の例

(\(1\))

\(x+y=0 \longrightarrow x=0\) かつ \(y=0 \cdots \) 偽
(反例:\(x=-2\)、\(y=2\))

\(x=0\) かつ \(y=0 \longrightarrow x+y=0 \cdots \) 真

よって、必要条件。

(\(2\))

\(x<-2 \longrightarrow x<0 \cdots \) 真

\(x<0 \longrightarrow x<-2 \cdots \) 偽
(反例:\(x=-1\))

よって、十分条件。

(\(3\))

\(x=y=0 \longrightarrow x^2+y^2=0 \cdots \) 真

\(x^2+y^2=0 \longrightarrow x=y=0 \cdots \) 真

よって、必要十分条件。

(\(4\))

\(xy=10 \longrightarrow x=5\)または\(y=2 \cdots \) 偽
(反例:\(x=1\)、\(y=10\))

\(x=5\)または\(y=2 \longrightarrow xy=10 \cdots \) 偽
(反例:\(x=5\)、\(y=1\))

よって、必要条件でも十分条件でもない。

解説

<基本的な考え方>

まず解説に移る前に、基本的な命題に関する考え方を説明します。
数学的に適切な表現ではないかもしれませんが、わかりやすさを重視して解説していきます。

まず、問題の出題方法についてです。これは、今回の(\(1\))から(\(4\)) を見てもらえればわかるように、様々な書かれ方がありますね。

「Aであることは、Bであるための~」
「Aは、Bの~」
「Aであることは、Bの~」
など

これらはすべて同じ意味になります。

さあ、ここからが本番です。

上記の「Aであることは、Bであるための~」という文章を例にとって説明します。

これはいわゆる、「Aは、Bとどういう関係なの?」というように、AとB \(2\) つの関係性が問われています。
少しだけ中学校の話になりますが、証明を学んだ際、仮定と結論があったのを覚えていますか?
あれも、「仮定が成り立つとき、結論が言えるの?」というように、 \(2\) つの関係性を説明したものでした。
そしてその際、「AならばBを証明しなさい。」のように書かれていましたね。
例えば、「AB=CDならば△ABC≡△DEFを証明しなさい。」のような感じです。

証明が嫌いな人。大丈夫です。今回使うのは、「AならばB」という言葉の部分だけです。

今回も、 \(2\) つの関係性を考えているので、
「Aであることは、Bであるための~」
という文章を、
「AならばB」
という文章に置き換えて考えます。これが、命題を解く際の最初のステップです。

そして、証明を習った際、逆についても学びましたね。
「BならばA」という場合を考え、それが成り立つのかどうか、というものです。
数学において、ものごとの逆が成り立つかどうかを確認することは、非常に重要なのです。
なので、中学校でも、証明と一緒に逆の考えも学ぶんですね。

少し余談ですが、小学校の時、「検算」という考えを学んだことを覚えていますか?
これもいわゆる、逆の考えと同じです。
小学校に関わらず中学校でも文章題でよく使う考えですが、計算が本当にあっているかどうかを確かめるために、出てきた答えを問題文に戻してみて、つじつまが合っているかを確認する手法でしたね。

さて、逆の考えが重要だということを説明したところで、今回の問題に戻りましょう。
「AならばB」と同時に、「BならばA」も考えていくわけですね。

次に、わかりやすくするために、
「AならばB」が成り立つ場合、「A \(\longrightarrow\) B」
「BならばA」が成り立つ場合、「A \(\longleftarrow\) B」
と表現することとします。
このとき、「BならばA」のことを「B \(\longrightarrow\) A」と表現しても同じ意味にはなりますが、「Aであることは、Bであるための~」という文章のため、AとBの位置は、Aが先、Bが後、の順で表記するようにしましょう。
上の模範解答では、問題集などの解答冊子に書かれている表記に合わせるため、わざと「B \(\longrightarrow\) A」という書き方をしていますが、以下の解説では、すべてAが先、Bが後、の順で表記していきます。(その方がわかりやすいため。)

では、ここからは実際の問題で続きを見ていくことにしましょう。

(\(1\))

今回は、「\(x+y=0\) であることは、 \(x=0\) かつ \(y=0\) であるための~」という文章なので、
「\(x+y=0 \longrightarrow x=0\) かつ \(y=0 \cdots\)①」
「\(x+y=0 \longleftarrow x=0\) かつ \(y=0 \cdots\)②」
という \(2\) つの場合を考えることになりますね。

まず①について考えます。

\(x+y=0\) は仮定なので、 \(x\) と \(y\) の和が \(0\) になることは前提となります。その上で、それが成り立つ組み合わせは、
\(x=0\) かつ \(y=0\)
しかないのか?ということが問われています。

どうでしょうか?

答えは、\(x=0\) 、 \(y=0\)以外にも成り立つ組み合わせがあります。
例えば\(x=-2\)、\(y=2\)などですね。この組み合わせは、\(x+y=0\) という前提を満たしつつ、\(x=0\) かつ \(y=0\)とは違う組み合わせですね。このように、成り立たない場合の例のことを、反例と呼びます。この用語は、中学校で学習済みの内容になります。
つまり、このことがらが成り立たないことから、「\(x+y=0 \longrightarrow x=0\) かつ \(y=0\)」は成立しないということですね。

このように、命題において、成立しないことがらがあったとき、それを「偽(ぎ)」と言います。
また、それとは対称的に、成立することがらがあったとき、それを「真(しん)」と言います。
新しい用語ですね、覚えておきましょう。

では次に、②について考えます。

\(x=0\) かつ \(y=0\) が仮定となり、その場合に、 \(x+y=0\) になるかどうかです。
これは、真(しん)です。よって、「\(x+y=0 \longleftarrow x=0\) かつ \(y=0\)」は成立するということです。

さて、ここまでの情報を整理します。

今成り立っていたのは、②の場合のみでした。
つまり「\(x+y=0 \longleftarrow x=0\) かつ \(y=0\)」の場合のみです。

このように、「A \(\longleftarrow\) B」となっているとき、Aの立場になって考えると、Bから矢印が向いているということは、Bから必要とされている、と見ることができます。
よって、左側の矢印が成り立つ場合、これを「必要条件」と言います。

この見方は、あくまでも覚えるために筆者が考えたものですので、一般的な覚え方ではありません。

また、見方によっては、逆の矢印である「A \(\longrightarrow\) B」のことを、Aが必要としている、と見なせば、こちらが「必要条件」っぽく見えてしまうのも確かです。

しかしみなさん、自分が誰かを頼るより、誰かに必要とされる(頼られる)方が嬉しくないですか?
嬉しい方を採用しましょう!
(覚え方の一つとして紹介しているものなので、合わなければ無理してこの覚え方をするのはやめましょう。)

この記事では、必要とされる方、つまり「A \(\longleftarrow\) B」が「必要条件」という覚え方をするとします。
そして、これとは逆の「A \(\longrightarrow\) B」を「十分条件」と言います。
\(2\) 種類どちらも覚え方をつけると、どっちがどっちかわからなくなります。
なので、「十分条件」の方には覚え方はつけません。「必要条件」の矢印の向きだけ覚えておきましょう。

話を元に戻すと、今回は「\(x+y=0 \longleftarrow x=0\) かつ \(y=0\)」というように、左の矢印が成り立っていたので、「必要条件」ということになるわけです。

(\(2\))

今回は、「\(x<-2\) は、\(x<0\) の~」と聞かれているので、
「\(x<-2 \longrightarrow x<0 \cdots\)①」
「\(x<-2 \longleftarrow x<0 \cdots\)②」
の \(2\) つを考えていきます。前述の通り、\(x<-2\)と\(x<0\)の位置は崩さずに表記して、考えていきましょう。

まず①についてです。
\(x<-2\) が成り立つと、その数は必ず \(x<0\) の範囲に入っているか、と聞かれています。

これは、真です。
\(-2\) より小さい数は、当然 \(0\) よりも小さい数になっていますね。

次に②についてです。
仮定が \(x<0\) になっていますので、 \(0\) より小さい数というのは、すべて \(x<-2\) という範囲に入っていますか、と聞かれています。

これは、偽です。
\(0\) より小さい数の中には \(-1\) が含まれますが、これは \(x<-2\) を満たしませんね。
よって、反例は \(-1\) となります。

つまり、今回は右側の矢印です。左側の矢印である「A \(\longleftarrow\) B」が必要条件でした。その逆なので、これは十分条件ということです。

(\(3\))

今回も同様に、
\(x=y=0 \longrightarrow x^2+y^2=0 \cdots\)①
\(x=y=0 \longleftarrow x^2+y^2=0 \cdots\)②
を考えていきます。

まず①について、 \(x=0\)と\(y=0\) のとき、\(x^2+y^2\) は当然 \(0\) になりますね。

次に②について、\(x^2+y^2\) が \(0\) になるとき、 \(2\) 乗の和が \(0\) になるためには \(x\) や \(y\) は \(0\) 以外にはなりえないので、\(x=y=0\) を満たします。

よって。どちらの矢印も満たす形となりました。

この場合は、必要条件と十分条件を満たすので、「必要十分条件」と言います。

(\(4\))

\(xy=10 \longrightarrow x=5\)または\(y=2 \cdots \)①
\(xy=10 \longleftarrow x=5\)または\(y=2 \cdots \)②

まずは①について、\(x\) と \(y\) をかけて \(10\) になるとき、\(x=5\) もしくは \(y=2\) になるか。
かけて \(10\) になれば何でもいいので、 \(x=1\) 、 \(y=10\) でもいいことになりますね。しかし、これは\(x=5\) もしくは \(y=2\) に当てはまりません。
よってこれは偽となります。(反例は、\(x=1\) 、 \(y=10\)などです)

次に②について、\(x=5\) もしくは \(y=2\) のとき、\(x\) と \(y\) をかけたら必ず \(10\)になるか。
例えば\(x=5\)とすれば前提条件は満たされますが、別に \(y\) の値によって、かけれらた数は変わってくるので、必ず \(10\) になるはずがありません。
よって、これも偽となります。(反例は、\(x=5\) 、 \(y=1\)などです)

よって、これはどちらの矢印も満たしません。

つまり、必要条件でも十分条件でもないということです。

両方成り立つ、もしくは両方成り立たないといった場合は簡単なので、片方の矢印が成り立つ場合に「必要条件」?「十分条件」?と混乱しがちですね。これらを正確にマスターし、惑わされることがないようにしましょう。

おわりに

さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました!

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