【命題】必要条件と十分条件

「AはBであるための～」は、「AならばB」と「ＢならばＡ」を考えよう

今回は命題という分野について考えていきます。

この分野は、高校数学の中でもかなり混乱しやすい分野ですが、この記事を読めば、もう大丈夫です。
一つひとつ順を追って解説していきますので、一緒に見ていきましょう。

必要条件と十分条件（問題）

次の（ア）から（エ）に当てはまるものを、「必要条件」「十分条件」「必要十分条件」「必要条件でも十分条件でもない」の中から選びなさい。ただし、 \(x\) 、 \(y\) は実数とします。

（\(1\)）\(x+y=0\) であることは、 \(x=0\) かつ \(y=0\) であるための（ア）である。
（\(2\)）\(x<-2\) は、\(x<0\) の（イ）である。
（\(3\)）\(x=y=0\) であることは、\(x^2+y^2=0\) であるための（ウ）である。
（\(4\)）\(xy=10\) は、\(x=5\)または\(y=2\)であるための（エ）である。

答案の例

（\(1\)）

\(x+y=0 \longrightarrow x=0\) かつ \(y=0 \cdots \) 偽
（反例：\(x=-2\)、\(y=2\)）

\(x=0\) かつ \(y=0 \longrightarrow x+y=0 \cdots \) 真

よって、必要条件。

（\(2\)）

\(x<-2 \longrightarrow x<0 \cdots \) 真

\(x<0 \longrightarrow x<-2 \cdots \) 偽
（反例：\(x=-1\)）

よって、十分条件。

（\(3\)）

\(x=y=0 \longrightarrow x^2+y^2=0 \cdots \) 真

\(x^2+y^2=0 \longrightarrow x=y=0 \cdots \) 真

よって、必要十分条件。

（\(4\)）

\(xy=10 \longrightarrow x=5\)または\(y=2 \cdots \) 偽
（反例：\(x=1\)、\(y=10\)）

\(x=5\)または\(y=2 \longrightarrow xy=10 \cdots \) 偽
（反例：\(x=5\)、\(y=1\)）

よって、必要条件でも十分条件でもない。

解説

＜基本的な考え方＞

まず解説に移る前に、基本的な命題に関する考え方を説明します。
数学的に適切な表現ではないかもしれませんが、わかりやすさを重視して解説していきます。

まず、問題の出題方法についてです。これは、今回の（\(1\)）から（\(4\)） を見てもらえればわかるように、様々な書かれ方がありますね。

「Aであることは、Bであるための～」
「Aは、Bの～」
「Aであることは、Bの～」
など

これらはすべて同じ意味になります。

さあ、ここからが本番です。

上記の「Aであることは、Bであるための～」という文章を例にとって説明します。

これはいわゆる、「Aは、Bとどういう関係なの？」というように、AとB \(2\) つの関係性が問われています。
少しだけ中学校の話になりますが、証明を学んだ際、仮定と結論があったのを覚えていますか？
あれも、「仮定が成り立つとき、結論が言えるの？」というように、 \(2\) つの関係性を説明したものでした。
そしてその際、「AならばBを証明しなさい。」のように書かれていましたね。
例えば、「AB=CDならば△ABC≡△DEFを証明しなさい。」のような感じです。

証明が嫌いな人。大丈夫です。今回使うのは、「AならばB」という言葉の部分だけです。

今回も、 \(2\) つの関係性を考えているので、
「Aであることは、Bであるための～」
という文章を、
「AならばB」
という文章に置き換えて考えます。これが、命題を解く際の最初のステップです。

そして、証明を習った際、逆についても学びましたね。
「BならばA」という場合を考え、それが成り立つのかどうか、というものです。
数学において、ものごとの逆が成り立つかどうかを確認することは、非常に重要なのです。
なので、中学校でも、証明と一緒に逆の考えも学ぶんですね。

少し余談ですが、小学校の時、「検算」という考えを学んだことを覚えていますか？
これもいわゆる、逆の考えと同じです。
小学校に関わらず中学校でも文章題でよく使う考えですが、計算が本当にあっているかどうかを確かめるために、出てきた答えを問題文に戻してみて、つじつまが合っているかを確認する手法でしたね。

さて、逆の考えが重要だということを説明したところで、今回の問題に戻りましょう。
「AならばB」と同時に、「BならばA」も考えていくわけですね。

次に、わかりやすくするために、
「AならばB」が成り立つ場合、「A \(\longrightarrow\) B」
「BならばA」が成り立つ場合、「A \(\longleftarrow\) B」
と表現することとします。
このとき、「BならばA」のことを「B \(\longrightarrow\) A」と表現しても同じ意味にはなりますが、「Aであることは、Bであるための～」という文章のため、AとBの位置は、Aが先、Bが後、の順で表記するようにしましょう。
上の模範解答では、問題集などの解答冊子に書かれている表記に合わせるため、わざと「B \(\longrightarrow\) A」という書き方をしていますが、以下の解説では、すべてAが先、Bが後、の順で表記していきます。（その方がわかりやすいため。）

では、ここからは実際の問題で続きを見ていくことにしましょう。

（\(1\)）

今回は、「\(x+y=0\) であることは、 \(x=0\) かつ \(y=0\) であるための～」という文章なので、
「\(x+y=0 \longrightarrow x=0\) かつ \(y=0 \cdots\)①」
「\(x+y=0 \longleftarrow x=0\) かつ \(y=0 \cdots\)②」
という \(2\) つの場合を考えることになりますね。

まず①について考えます。

\(x+y=0\) は仮定なので、 \(x\) と \(y\) の和が \(0\) になることは前提となります。その上で、それが成り立つ組み合わせは、
\(x=0\) かつ \(y=0\)
しかないのか？ということが問われています。

どうでしょうか？

答えは、\(x=0\) 、 \(y=0\)以外にも成り立つ組み合わせがあります。
例えば\(x=-2\)、\(y=2\)などですね。この組み合わせは、\(x+y=0\) という前提を満たしつつ、\(x=0\) かつ \(y=0\)とは違う組み合わせですね。このように、成り立たない場合の例のことを、反例と呼びます。この用語は、中学校で学習済みの内容になります。
つまり、このことがらが成り立たないことから、「\(x+y=0 \longrightarrow x=0\) かつ \(y=0\)」は成立しないということですね。

このように、命題において、成立しないことがらがあったとき、それを「偽（ぎ）」と言います。
また、それとは対称的に、成立することがらがあったとき、それを「真（しん）」と言います。
新しい用語ですね、覚えておきましょう。

では次に、②について考えます。

\(x=0\) かつ \(y=0\) が仮定となり、その場合に、 \(x+y=0\) になるかどうかです。
これは、真（しん）です。よって、「\(x+y=0 \longleftarrow x=0\) かつ \(y=0\)」は成立するということです。

さて、ここまでの情報を整理します。

今成り立っていたのは、②の場合のみでした。
つまり「\(x+y=0 \longleftarrow x=0\) かつ \(y=0\)」の場合のみです。

このように、「A \(\longleftarrow\) B」となっているとき、Aの立場になって考えると、Bから矢印が向いているということは、Bから必要とされている、と見ることができます。
よって、左側の矢印が成り立つ場合、これを「必要条件」と言います。

この見方は、あくまでも覚えるために筆者が考えたものですので、一般的な覚え方ではありません。

また、見方によっては、逆の矢印である「A \(\longrightarrow\) B」のことを、Aが必要としている、と見なせば、こちらが「必要条件」っぽく見えてしまうのも確かです。

しかしみなさん、自分が誰かを頼るより、誰かに必要とされる（頼られる）方が嬉しくないですか？
嬉しい方を採用しましょう！
（覚え方の一つとして紹介しているものなので、合わなければ無理してこの覚え方をするのはやめましょう。）

この記事では、必要とされる方、つまり「A \(\longleftarrow\) B」が「必要条件」という覚え方をするとします。
そして、これとは逆の「A \(\longrightarrow\) B」を「十分条件」と言います。
\(2\) 種類どちらも覚え方をつけると、どっちがどっちかわからなくなります。
なので、「十分条件」の方には覚え方はつけません。「必要条件」の矢印の向きだけ覚えておきましょう。

話を元に戻すと、今回は「\(x+y=0 \longleftarrow x=0\) かつ \(y=0\)」というように、左の矢印が成り立っていたので、「必要条件」ということになるわけです。

（\(2\)）

今回は、「\(x<-2\) は、\(x<0\) の～」と聞かれているので、
「\(x<-2 \longrightarrow x<0 \cdots\)①」
「\(x<-2 \longleftarrow x<0 \cdots\)②」
の \(2\) つを考えていきます。前述の通り、\(x<-2\)と\(x<0\)の位置は崩さずに表記して、考えていきましょう。

まず①についてです。
\(x<-2\) が成り立つと、その数は必ず \(x<0\) の範囲に入っているか、と聞かれています。

これは、真です。
\(-2\) より小さい数は、当然 \(0\) よりも小さい数になっていますね。

次に②についてです。
仮定が \(x<0\) になっていますので、 \(0\) より小さい数というのは、すべて \(x<-2\) という範囲に入っていますか、と聞かれています。

これは、偽です。
\(0\) より小さい数の中には \(-1\) が含まれますが、これは \(x<-2\) を満たしませんね。
よって、反例は \(-1\) となります。

つまり、今回は右側の矢印です。左側の矢印である「A \(\longleftarrow\) B」が必要条件でした。その逆なので、これは十分条件ということです。

（\(3\)）

今回も同様に、
\(x=y=0 \longrightarrow x^2+y^2=0 \cdots\)①
\(x=y=0 \longleftarrow x^2+y^2=0 \cdots\)②
を考えていきます。

まず①について、 \(x=0\)と\(y=0\) のとき、\(x^2+y^2\) は当然 \(0\) になりますね。

次に②について、\(x^2+y^2\) が \(0\) になるとき、 \(2\) 乗の和が \(0\) になるためには \(x\) や \(y\) は \(0\) 以外にはなりえないので、\(x=y=0\) を満たします。

よって。どちらの矢印も満たす形となりました。

この場合は、必要条件と十分条件を満たすので、「必要十分条件」と言います。

（\(4\)）

\(xy=10 \longrightarrow x=5\)または\(y=2 \cdots \)①
\(xy=10 \longleftarrow x=5\)または\(y=2 \cdots \)②

まずは①について、\(x\) と \(y\) をかけて \(10\) になるとき、\(x=5\) もしくは \(y=2\) になるか。
かけて \(10\) になれば何でもいいので、 \(x=1\) 、 \(y=10\) でもいいことになりますね。しかし、これは\(x=5\) もしくは \(y=2\) に当てはまりません。
よってこれは偽となります。（反例は、\(x=1\) 、 \(y=10\)などです）

次に②について、\(x=5\) もしくは \(y=2\) のとき、\(x\) と \(y\) をかけたら必ず \(10\)になるか。
例えば\(x=5\)とすれば前提条件は満たされますが、別に \(y\) の値によって、かけれらた数は変わってくるので、必ず \(10\) になるはずがありません。
よって、これも偽となります。（反例は、\(x=5\) 、 \(y=1\)などです）

よって、これはどちらの矢印も満たしません。

つまり、必要条件でも十分条件でもないということです。

両方成り立つ、もしくは両方成り立たないといった場合は簡単なので、片方の矢印が成り立つ場合に「必要条件」？「十分条件」？と混乱しがちですね。これらを正確にマスターし、惑わされることがないようにしましょう。

おわりに